Analiza matematyczna, zadanie nr 6358
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
wachuratb post贸w: 2 |  2020-06-05 10:32:17Witam, mam problem z nastepujacym zadaniem. 3. Wyznacz wz贸r analityczny pozwalaj膮cy wyliczy膰 n-ty wyraz ci膮gu okre艣lonego rekurencyjnie:$ a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{n} = 3a_{n-1} - 2a_{n-2}$. Doszedlem do wniosku, ze wzor rekurencyjny mozna uproscic na $a_{n} = 2a_{n-1} + 1$ jednakze nie wiem jak dojsc do wzoru ogolnego Uprzejmie prosze o pomoc. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2020-06-05 11:19:08 przez wachuratb |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-06-05 10:39:55 Nieczytelny zapis tre艣ci zadania. Brak u偶ycia edytora LateX. Metoda funkcji tworz膮cych. |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-06-05 20:22:34 $ a_{n} = 3a_{n-1}-2a_{n-2}, \ \ a_{0}=0, a_{1}=1 $ Metoda funkcji tworz膮cych (generuj膮cych) Funkcja tworz膮ca (generuj膮ca) ci膮gu $ f(x)= \sum_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i} $ $ f(x) = \sum_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 +a_{3}x^3+a_{4}x^4 +...= 0 +1x +(3a_{1}-2a_{0})x^2 +(3a_{2}-2a_{1})x^3 + (3a_{3} -2a_{2})x^4 +... $ $ f(x) = x + 3(a_{1}x^2+a_{2}x^3 +a_{3}x^4+...) -2(a_{0}x^2+a_{1}x^3 +a_{2}x^4+...) = x + 3x(f(x)-a_{0}x)- 2x^2f(x) $ $ f(x) = x +3xf(x) -2x^2 f(x) $ $ f(x) = \frac{x}{2x^2 -3x +1} = \frac{x}{(1-2x)(1-x)} $ Rozk艂ad funkcji generuj膮cej na sum臋 u艂amk贸w prostych $ f(x) = \frac{x}{(1-2x)(1-x)} = \frac{A}{1-2x} + \frac{B}{1-x}$ $ x \equiv (-A-2B)x + A + B $ $ \begin{cases} -A -2B = 1 \\ A + B = 0 \end{cases} $ $ A = 1, \ \ B = -1 $ $ f(x) = \frac{1}{1-2x} - \frac{1}{1-x} $ $ f(x) = (1 + 2x + 4x^2 +8x^3+...+ 2^{n}x^{n}+...) - (1 + x + x^2 + x^3 +...+ 1x^{n}+...)$ Por贸wnuj膮c wsp贸艂czynniki przy $ x^{n}, \ \ n=0,1,2,... $ otrzymujemy wz贸r og贸lny ci膮gu: $ a_{n} = 2^{n} -1. $ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2020-06-05 21:09:10 przez chiacynt |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj