Inne, zadanie nr 636
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
easyrider85 post贸w: 48 |  2012-11-11 15:48:07wyznaczyc przedzia艂y zbie偶nosci 1)$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n*x^n}{(n^2+1)}$ 2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{3^nn}*(x-2)^n $ |
easyrider85 post贸w: 48 | 2012-11-13 13:06:58 pomo偶e kto艣? |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-13 13:35:01 1) promie艅 zbie偶no艣ci $R=\frac{1}{2}$ dla $x=\pm\frac{1}{2}$ tak偶e zbie偶ny Zauwa偶my, 偶e dla $|x|\le\frac{1}{2}$ licznik u艂amka jest w przedziale $[-1,1]$, czyli szereg zbie偶ny z kryt. por贸wnawczego. Je艣li $|x|>\frac{1}{2}$, to ci膮g nie zbiega do $0$, szereg by膰 zbie偶ny nie mo偶e. ---- Mo偶na z jakiego艣 Cauchy\'ego robi膰, ale nie trzeba, bo tu wszystko wida膰. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-13 13:39:47 2) Bardzo podobnie. Je艣li $|x-2|<3$, to szereg zbie偶ny, je艣li $|x-2|>3$ to rozbie偶ny, je艣li $|x-2|=3$ to rozbie偶ny. Czyli $x\in (-1,5)$ Mo偶na z powa偶nych kryteri贸w, a mo偶na po prostu wiedzie膰, 偶e funkcja wyk艂adnicza ro艣nie szybciej ni偶 dowolny wielomian i u偶y膰 kryterium por贸wnawczego. ;) |
easyrider85 post贸w: 48 | 2012-11-13 14:32:15 jakim sposobem promie艅 wyszed艂 $\frac{1}{2}$ liczy艂em pare razy i jakies farmazony mi wychodzi艂y? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-11-13 15:05:09 przez easyrider85 |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-13 15:13:05 1). Pierwszy spos贸b by艂 na oko. ;) Popatrz na przyk艂ad. Masz tam wielomian (nieistotne, kt贸rego stopnia) i funkcj臋 wyk艂adnicz膮 (zmienn膮 jest $n$, zauwa偶), kt贸r膮 mo偶na napisa膰 $(2x)^n$ I teraz, je艣li $2x>1$, to masz ROSN膭C膭 funkcj臋 wyk艂adnicz膮. Ona musi przegoni膰 wielomian, co by si臋 nie dzia艂o w 艣wiecie. Nawet w dniu ko艅ca 艣wiata funkcje wyk艂adnicze b臋d膮 przegania膰 wielomiany. :) $(1,000000001)^n$ 艣mignie do g贸ry tak szybko, 偶e funkcja $999!n^{999!}$ nawet si臋 nie zorientuje. O. Tylko niekoniecznie zmie艣cisz rysunek tego faktu w zeszycie. Je艣li $-1<2x<1$, to przeciwnie, mamy funkcje wyk艂adnicz膮 zgrabnie malej膮c膮 do 0, cho膰 tu do zbie偶no艣ci szeregu wystarczy艂oby, 偶eby licznik by艂 ograniczony. A skoro tak, to dla $x=\pm \frac{1}{2}$ szereg te偶 b臋dzie zbie偶ny (Kryterium por贸wnawcze z szeregiem $\sum\frac{1}{n^2}$) ----- Ale mo偶na inaczej. Mamy szereg pot臋gowy. $\sum a_nx^n$, gdzie $a_n=\frac{2^n}{wielomian}$ Liczymy $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=2$. Wynik jest ODWROTNO艢CI膭 promienia zbie偶no艣ci, to znaczy, je艣li wyjdzie $\infty$ to $R=0$, je艣li wyjdzie $0$, to $R=\infty$ (tu nie wdaj臋 si臋 w szczeg贸艂y, jeste艣my w艣r贸d liczb dodatnich), a je艣li wyjdzie liczba rzeczywista to bierzemy jej odwrotno艣膰. A gdy mamy promie艅 zbie偶no艣ci, to pewna jest zbie偶no艣膰 dla $|x|<R$, natomiast dla $x=\pm R$ trzeba jeszcze sprawdzi膰 oddzielnie. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-11-13 15:22:12 przez tumor |
easyrider85 post贸w: 48 | 2012-11-13 15:20:06 dobra ogarniam :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj