Inne, zadanie nr 636

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
easyrider85 postów: 48	2012-11-11 15:48:07 wyznaczyc przedziały zbieżnosci 1)$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^nx^n}{(n^2+1)}$ 2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{3^nn}(x-2)^n $

easyrider85 postów: 48	2012-11-13 13:06:58 pomoże ktoś?

tumor postów: 8070	2012-11-13 13:35:01 1) promień zbieżności $R=\frac{1}{2}$ dla $x=\pm\frac{1}{2}$ także zbieżny Zauważmy, że dla $\|x\|\le\frac{1}{2}$ licznik ułamka jest w przedziale $[-1,1]$, czyli szereg zbieżny z kryt. porównawczego. Jeśli $\|x\|>\frac{1}{2}$, to ciąg nie zbiega do $0$, szereg być zbieżny nie może. ---- Można z jakiegoś Cauchy'ego robić, ale nie trzeba, bo tu wszystko widać. :)

tumor postów: 8070	2012-11-13 13:39:47 2) Bardzo podobnie. Jeśli $\|x-2\|<3$, to szereg zbieżny, jeśli $\|x-2\|>3$ to rozbieżny, jeśli $\|x-2\|=3$ to rozbieżny. Czyli $x\in (-1,5)$ Można z poważnych kryteriów, a można po prostu wiedzieć, że funkcja wykładnicza rośnie szybciej niż dowolny wielomian i użyć kryterium porównawczego. ;)

easyrider85 postów: 48	2012-11-13 14:32:15 jakim sposobem promień wyszedł $\frac{1}{2}$ liczyłem pare razy i jakies farmazony mi wychodziły? Wiadomość była modyfikowana 2012-11-13 15:05:09 przez easyrider85

tumor postów: 8070	2012-11-13 15:13:05 1). Pierwszy sposób był na oko. ;) Popatrz na przykład. Masz tam wielomian (nieistotne, którego stopnia) i funkcję wykładniczą (zmienną jest $n$, zauważ), którą można napisać $(2x)^n$ I teraz, jeśli $2x>1$, to masz ROSNĄCĄ funkcję wykładniczą. Ona musi przegonić wielomian, co by się nie działo w świecie. Nawet w dniu końca świata funkcje wykładnicze będą przeganiać wielomiany. :) $(1,000000001)^n$ śmignie do góry tak szybko, że funkcja $999!n^{999!}$ nawet się nie zorientuje. O. Tylko niekoniecznie zmieścisz rysunek tego faktu w zeszycie. Jeśli $-1<2x<1$, to przeciwnie, mamy funkcje wykładniczą zgrabnie malejącą do 0, choć tu do zbieżności szeregu wystarczyłoby, żeby licznik był ograniczony. A skoro tak, to dla $x=\pm \frac{1}{2}$ szereg też będzie zbieżny (Kryterium porównawcze z szeregiem $\sum\frac{1}{n^2}$) ----- Ale można inaczej. Mamy szereg potęgowy. $\sum a_nx^n$, gdzie $a_n=\frac{2^n}{wielomian}$ Liczymy $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=2$. Wynik jest ODWROTNOŚCIĄ promienia zbieżności, to znaczy, jeśli wyjdzie $\infty$ to $R=0$, jeśli wyjdzie $0$, to $R=\infty$ (tu nie wdaję się w szczegóły, jesteśmy wśród liczb dodatnich), a jeśli wyjdzie liczba rzeczywista to bierzemy jej odwrotność. A gdy mamy promień zbieżności, to pewna jest zbieżność dla $\|x\|<R$, natomiast dla $x=\pm R$ trzeba jeszcze sprawdzić oddzielnie. Wiadomość była modyfikowana 2012-11-13 15:22:12 przez tumor

easyrider85 postów: 48	2012-11-13 15:20:06 dobra ogarniam :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj