Analiza matematyczna, zadanie nr 6388
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
wiktoria123456 post贸w: 16 |  2020-06-29 16:10:00DLa prostopad艂o艣cianu o zadanej obj臋to艣ci V tak dobrac wymiary, 偶eby jego pole powierzchni ca艂kowitej by艂o minimalne. |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-06-29 17:28:43 Obj臋to艣膰 prostopad艂o艣cianu $ V = x\cdot y \cdot z \ \ (1)$ , gdzie $ x>0,\ \ y>0,\ \ z >0 $ s膮 d艂ugo艣ciami kraw臋dzi prostopad艂o艣cianu Pole powierzchni ca艂kowitej prostopad艂o艣cianu $ P = 2(xy + xz + yz) \ \ (2) $ Z r贸wnania $ (1) $ wyznaczamy $ z = \frac{V}{xy} $ i wstawiamy do r贸wnania $ (2) $ $ P = 2\left (xy + x\frac{V}{xy} + y\frac{V}{xy}\right)$ $ P = 2\left (xy + \frac{V}{y} + \frac{V}{x}\right) $ Nale偶y wyznaczy膰 minimum lokalne funkcji $ P $ $ \begin{cases} P\'_{|x} = 2\left( y - \frac{V}{x^2}\right) =0 \\ P\'_{|y} = 2\left( x - \frac{V}{y^2}\right) =0 \end{cases} $ Rozwi膮zuj膮c ten uk艂ad r贸wna艅 otrzymujemy $ \begin{cases} y = \frac{V}{x^2} \\ x = \frac{V}{y^2} \end{cases} $ $ \begin{cases} x^{*} = \sqrt[3]{V} \\ y^{*} = \sqrt[3]{V} \end{cases} $ Sprawdzamy, czy w punkcie $ \left(\begin{matrix} x^{*}\\ y^{*} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V} \end{matrix}\right) $ funkcja $ P $ ma minimum lokalne. W tym celu znajdujemy macierz drugiej r贸偶niczki tej funkcji $ P^{\'\'}_{|xx} = 4\frac{V}{x^3}$ $ P^{\'\'}_{|xy} = 2 = P^{\'\'}_{|yx} $ $ P^{\'\'}_{|xx} = 4\frac{V}{y^3}$ Macierz drugiej r贸偶niczki $ D^2(x,y) = \left[\begin{matrix} 4\frac{V}{x^3} & 2 \\ 2 & 4\frac{V}{y^3} \end{matrix} \right] $ Badamy okre艣lono艣膰 macierzy drugiej r贸偶niczki w punkcie $ \left(\begin{matrix} x^{*}\\ y^{*} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V} \end{matrix}\right) $ $ D^2(x^{*},y^{*}) = D^2\left(\sqrt[3]{V}, \sqrt[3]{V}\right) = \left[ \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right] $ Macierz drugiej r贸偶niczki jest w tym punkcie dodatnio okre艣lona bo warto艣ci wyznacznik贸w: $ |4|>0, \ \ \left| \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right| = 12 >0 $ W punkcie $ \left(\begin{matrix} x^{*}\\ y^{*}\\ z^{*} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V} \end{matrix}\right) $ wyst臋puje minimum lokalne funkcji $ P $ - warto艣膰 pola powierzchni ca艂kowitej prostopad艂o艣cianu jest minimalna i wynosi $ P^{*} = 2(\sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V} + \sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V}+ \sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V}) = 6\sqrt[3]{V^2} $ Wniosek Ze wszystkich prostopad艂o艣cian贸w o danej obj臋to艣ci $ V $ najmniejsze pole powierzchni ca艂kowitej ma sze艣cian. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj