Analiza funkcjonalna, zadanie nr 640
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sympatia17 post贸w: 42 |  2012-11-11 22:37:25Wyka偶, 偶e iloczyn $\bigcap A$ dowolnej liczby zbior贸w domkni臋tych w $\left\langle X, d\right\rangle$ jest zbiorem domkni臋tym w $\left\langle X, d\right\rangle$ oraz 偶e suma $\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}$ sko艅czonej liczby zbior贸w $A_{k}$ domkni臋tych w $\left\langle X, d\right\rangle$ jest zbiorem domkni臋tym w $\left\langle X, d\right\rangle$. Potrafi臋 udowodni膰 dla zbior贸w otwartych, ale dla zbior贸w domkni臋tych nie mam pomys艂u (nie chodzi mi o spos贸b rozwi膮zania z u偶yciem praw de Morgana) Prosz臋 o pomoc. $\left\langle X, d\right\rangle$ - przestrze艅 metryczna |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-13 12:53:40 Je艣li wiesz, jak wygl膮daj膮 prawa de Morgana, to po prostu je zastosuj do wyniku ze zbiorami otwartymi. :) Mamy prawa $X\backslash (\bigcup C_t)=\bigcap (X\backslash C_t)$ $X\backslash (\bigcap C_t)=\bigcup (X\backslash C_t)$ Masz dowiedzione, 偶e suma dowolnej ilo艣ci zbior贸w otwartych jest otwarta w przestrzeni metrycznej. Niech $A_i$ s膮 zbiorami domkni臋tymi, wtedy istniej膮 zbiory otwarte $B_i$, 偶e $A_i=X\backslash B_i$ $\bigcap A_i=\bigcap (X\backslash B_i)=X\backslash(\bigcup B_i)$ skoro $\bigcup B_i$ jest zbiorem otwartym, to $X\backslash(\bigcup B_i)$ jest zbiorem domkni臋tym. ------ Analogicznie. Masz dowiedzione, 偶e przekr贸j sko艅czenie wielu zbior贸w otwartych jest otwarty. Niech $A_k$, $k=1,...,n$ b臋d膮 domkni臋te, wtedy odpowiadaj膮ce im $B_k=X\backslash A_k$ b臋d膮 otwarte. $\bigcup_{k=1}^nA_k=\bigcup_{k=1}^n(X\backslash B_k)=X\backslash (\bigcap_{k=1}^n B_k)$ a skoro $\bigcap_{k=1}^n B_k$ jest otwarty, to $X\backslash (\bigcap_{k=1}^n B_k)$ jest domkni臋ty. -------- Przy tym to rozumowanie jest s艂uszne w przestrzeniach topologicznych, a nie tylko w metrycznych. Dla przestrzeni metrycznych mo偶na by to samo zadanie rozwi膮za膰 艂atwo bezpo艣rednio, m贸wi膮c o kulach otwartych i takich tam. :P |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj