Probabilistyka, zadanie nr 643

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sympatia17 postów: 42	2012-11-13 09:23:40 Czy z tego, że $A, B, C$ są parami niezależne wynika, że: (a) $A \cap B$ i $C$ (b) $A \cup B$ i $C$ są niezależne? Jak to udowodnić? Proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2012-11-13 12:04:13 Wypada zacząć od chwili zastanowienia. Zdarzenia niezależne można skojarzyć z prawdopodobieństwem warunku. Na przykład zdarzenie C zajdzie z takim samym prawdopodobieństwem niezależnie od tego, czy wcześniej zajdzie zdarzenie A czy nie zajdzie. a) Mamy sobie teraz odpowiedzieć na pytanie, czy $C$ na pewno zajdzie z takim samym prawdopodobieństwem jeśli zajdą jednocześnie $A$ i $B$ lub gdy co najmniej jedno z nich nie zajdzie. Tu wcale nie mamy tej pewności! Próbujemy skonstruować kontrprzykład. Weźmy coś najprostszego, żeby $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$, Wtedy musimy mieć $P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac{1}{4}$ Taki model zrobić łatwo, na przykład w przestrzeni $\{1,2,3,4\}$ weźmy zdarzenia $A=\{1,2\}$ $B=\{2,3\}$ $C=\{1,3\}$ I patrzymy, co się dzieje. $P((A\cap B)\cap C)=P(\emptyset)=0$ natomiast $P(A\cap B)*P(C)>0$ Czyli zdarzenia z podpunktu (a) nie są niezależne.

tumor postów: 8070	2012-11-13 12:07:32 b) Korzystamy z modelu z poprzedniego podpunktu $P(A\cup B)=\frac{3}{4}$ $P(C)=\frac{1}{2}$ $P((A\cup B)\cap C)=P(C)=\frac{1}{2}$ natomiast $P(A\cup B)P(C)\neq \frac{1}{2}$ Czyli i te zdarzenia nie są niezależne. Oczywiście jeśli testujesz sobie proste modele MOŻE Ci wyjść, że jakieś konkretne trzy zdarzenia są niezależne. To nie dowodzi reguły. Jednakże skoro pokazaliśmy kontrprzykłady, to mamy pewność, że niezależność nie jest konieczna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj