Algebra, zadanie nr 659

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
isia1234 postów: 11	2012-11-18 15:57:20 1.Przedstawić w postaci trygonometrycznej: (2-\sqrt{3})-i oraz 1+i. 2. Znaleźć a,b,c,d \in R takie że a+b/(2-i)^2 + c+d/(1+2i)^2 = 0 Bardzo proszę o rozwiązanie tych dwóch zadań, jeśli to możliwe z wytłumaczeniem:) Z góry dziękuje:)

tumor postów: 8070	2015-09-06 15:49:35 $a+bi=\sqrt{a^2+b^2}(cos\phi + isin \phi)$, pozostaje dla konkretnego przykładu doliczyć $\phi$. W przypadku liczby $i+1$ oczywiste jest $\phi=\frac{\pi}{4}$ Dla $(2-\sqrt{3})-i$ mamy $cos\phi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ $sin \phi=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ Jeśli nie znamy takiego kąta, to proponowałbym nie szukać w źródłach zewnętrznych, ale zastanowić się, jaka jest dwu- (a potem cztero-, ośmio- etc) krotność tego kąta, co policzyć łatwo. Autorzy zadań zadania robią tak, żeby były do rozwiązania. Tu się okaże, że $sin2\phi=-2*\frac{4}{16}=-\frac{1}{2}$ wobec czego $2\phi=\frac{9\pm 2}{6}\pi+2k\pi, k\in Z$ $\phi=\frac{9\pm 2}{12}\pi+k\pi, k\in Z$ dobieramy $k$ tak, by trafić w odpowiednią ćwiartkę.

tumor postów: 8070	2015-09-06 16:12:39 Nie jestem pewien, jak przykład ma wyglądać. a) $a+\frac{b}{(2-i)^2}+c+\frac{d}{(1+2i)^2}=0$ Może zacznijmy od znalezienia odwrotności liczb $(2-i)^2=3-4i$, którą jest $\frac{1}{25}(3+4i)$ i analogicznie odwrotnością dla $(1+2i)^2=-3+4i$ jest $-\frac{1}{25}(3+4i)$ mamy więc $a+b\frac{1}{25}(3+4i) +c-d\frac{1}{25}(3+4i)=0$ Dla rozwiązania sprowadzamy do wspólnego mianownika, wymnażamy licznik, porównujemy części rzeczywiste i zespolone b)$\frac{a+b}{(2-i)^2}+\frac{c+d}{(1+2i)^2}=0$ sprowadza się do $(a+b-c-d)\frac{1}{25}(3+4i)=0$ co ma oczywistą przestrzeń rozwiązań. c)$\frac{a+bi}{(2-i)^2}+\frac{c+di}{(1+2i)^2}=0$ sprowadza się do $(a+bi-c-di)\frac{1}{25}(3+4i)=0$ wobec czego a,b,c,d dowolne, byle $a=c$ $b=d$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj