Algebra, zadanie nr 661

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2012-11-18 18:55:41 Rozważmy grupę G = {$ f_{a,b}: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: f_{a,b}(x)= ax+b, a\in \mathbb{R^{*}},b\in \mathbb{R}$} z działaniem składania. Sprawdzić, czy H = {$f_{a,b}\in G : a=1$} jest jej podgrupą. Ktoś wie jak zrobić i zechce pomóc??? wiem jakie warunki musi spełniać pogrupa: 1)H musi być niepustym zbiorem 2)dla dowolnych dwóch elementów należących do H ich iloczyn też ma należeć do H 3)dla dowolnego elementu należącego do H element odwrotny też ma należeć do H problem w tym,że nie wiem jak to sprawdzić w tym zadaniu

tumor postów: 8070	2012-11-19 17:55:37 Masz grupę funkcji liniowych, które nie są stałe. W tym element neutralny, funkcja $f_{1,0}(x)=x$. 1) żeby sprawdzić, że H jest zbiorem niepustym wystarczy podać jeden element, który na pewno należy do H. Oczywiście element neutralny musi należeć do H, rzeczywiście funkcja $f_{1,0}(x)=x$ spełnia warunek $a=1$. 2) Jeśli weźmiesz dwie funkcje, $f(x)=a_1x+b_1$ oraz $g(x)=a_2x+b_2$ należące do H, to musisz pokazać, że ich iloczyn (ale tu działaniem jest ZŁOŻENIE!) należy do H. Skoro te funkcje należą do H, to $a_1=a_2=1$, czyli $f(x)=x+b_1$, $g(x)=x+b_2$. Kolejność składania nie ma znaczenia $(f\circ g) (x) =f(g(x))=f(x+b_2)=(x+b_2)+b_1=x+(b_1+b_2)$ Widzimy, że po prawej stronie $a=1$, czyli $f\circ g \in H$ 3) A co to są elementy odwrotne? To takie funkcje, których złożenie jest elementem neutralnym, czyli po prostu funkcje odwrotne. Funkcją odwrotną do $f(x)=x+b$ jest funkcja $g(x)=x-b$ gdyż $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x) = x+b-b=x=f_{1,0}(x)$. Oczywiście widzimy, że jeśli funkcja miała współczynnik $a=1$, to także funkcja odwrotna ma $a=1$, czyli należy do H.

mat12 postów: 221	2012-11-19 19:57:39 Ogromnie dziękuję:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj