Matematyka dyskretna, zadanie nr 701

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
natalia1992 postów: 26	2012-11-26 12:23:33 Wykazać, że jeżeli p jest liczbą pierwszą, to pierwiastek z p jest liczbą niewymierną.

tumor postów: 8070	2012-11-26 12:48:07 załóżmy, że pierwiastek DOWOLNEGO naturalnego stopnia $n > 1$ z liczby p jest wymierny, to znaczy $\sqrt[n]{p}=\frac{a}{b}$, gdzie $\frac{a}{b}$ jest ułamkiem nieskracalnym. Wtedy $p=(\frac{a}{b})^n$ $b^np=a^n$ Każda liczba naturalna większa od 1(z zasadniczego twierdzenia arytmetyki) ma jednoznaczny rozkład na iloczyn potęg liczb pierwszych. Gdy rozłożymy liczbę $a^n$ zgodnie z tym twierdzeniem, dostaniemy $a^n=p^{kn}x$, gdzie k jest naturalne, a x niepodzielne przez p Gdy rozłożymy liczbę $b^np$ zgodnie z tym twierdzeniem, dostaniemy $b^np=p^{ln+1}y$, gdzie l jest naturalne, a y niepodzielne przez p. Skoro $n>1$, to $kn\neq ln+1$, a zatem $b^np\neq a^n$, sprzeczność. Rozumowanie dla n=2 się niczym nie różni, dlatego nie pisałem go oddzielnie. ;) Można rozumować bardzo podobnie by pokazać tezę dla innych liczb naturalnych (oczywiście nie wszystkich :P), a nie tylko pierwszych.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj