logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 712

ostatnie wiadomo¶ci  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwi±zanie

pppsss
postów: 23
2012-11-27 16:35:14

1) Wykazać, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb wymiernych jest liczb± wymiern±.
2) Czy suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch liczb liczb niewymiernych musi być liczb± niewymiern± ?
3) Niech p,q będ± dwiema różnymi liczbami pierwszymi. Pokazać, że liczby p$\cdot$q (te liczby s± pod pierwiastkiem) oraz $\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$ s± niewymierne.
4) pokazać, że jeżeli x jest liczb± niewymiern± dodatni± to $\sqrt{x}$ też jest liczb± niewymiern±.


tumor
postów: 8070
2012-11-27 16:49:39

1)

Mamy liczby wymierne $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ (gdzie $a,b,c,d$ całkowite, mianowniki różne od 0)

Ich suma to $\frac{ad+bc}{bd}$
Ich różnica to $\frac{ad-bc}{bd}$
Ich iloczyn to $\frac{ac}{bd}$

O ile $c$ nie jest zerem, to iloraz $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

W każdym przypadku liczniki i mianowniki wyników s± całkowite, czyli mamy do czynienia z liczbami wymiernymi.


tumor
postów: 8070
2012-11-27 16:52:09

2)
$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ (suma może być wymierna)
$\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$ (różnica może być wymierna)
$\sqrt{2}*(-\sqrt{2})=-2$ (iloczyn może być wymierny)
$\sqrt{2}:(-\sqrt{2})=-1$ (iloraz może być wymierny)




tumor
postów: 8070
2012-11-27 16:56:38

4.

$x>0$
Gdyby $\sqrt{x}$ był liczb± wymiern±, czyli $\sqrt{x}=\frac{p}{q}$ dla pewnych liczb całkowitych $p,q$, to $x=(\sqrt{x})^2=\frac{p^2}{q^2} $ też byłby liczb± wymiern±, a wiadomo, że nie jest.


tumor
postów: 8070
2012-11-27 17:09:27

3. My¶lę, że można po¶więcić chwilę i wsadzić pod pierwiastek liczby, które maj± pod nim być. Nowe do¶wiadczenie, wiedza, te sprawy. Nie trzeba się bać.

$\sqrt{pq}$ jest liczb± niewymiern±.
Gdyby był liczb± wymiern±, to istniałyby całkowite i względnie pierwsze $a,b$, że $\sqrt{pq}=\frac{a}{b}$
$pq=\frac{a^2}{b^2}$
$pqb^2=a^2$

Na obie strony ostatniej równo¶ci popatrz jak na liczby naturalne. Każda liczba naturalna dodatnia ma jednoznaczne przedstawienie w postaci iloczynu naturalnych potęg liczb pierwszych, w przypadku liczby po prawej wykładniki s± wszystkie parzyste, w przypadku liczby po lewej dwa wykładniki s± nieparzyste, zatem te liczby maj± różne rozkłady i nie mog± być równe.

Gdyby liczba $ \sqrt{p}-\sqrt{q}$ była wymierna, to jej kwadrat też byłby wymierny. Natomiast kwadrat tej liczby wynosi
$(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2=p+q-2\sqrt{pq}$

Liczba ta jest niewymierna, bo $2\sqrt{pq}$ jest niewymierna, a różnica (i suma) liczby wymiernej i niewymiernej jest zawsze niewymierna. (Korzystamy z zadania 4 i z zadania 1)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz ¦liwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj