Analiza matematyczna, zadanie nr 714

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kiciur postów: 5	2012-11-28 19:07:29 Cześć Kolejne starcie z granicami, rozwiązałem już kilkadziesiąt przykładów i niestety zatrzymałem się na jednym: $\lim_{x \to 1}\frac{x^{4}-3x+2}{x^{5}-4x+3}$ Nie mogę pozbyć się tych x na początku z wysokim wykładnikiem. Czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć z czego mógłbym skorzystać przy rozwiązaniu (poza regułą de l'Hospitala)? Próbowałem kombinować z wzorami skróconego mnożenia ale nie chce mi wyjść.

tumor postów: 8070	2012-11-28 19:33:40 Możesz dzielić wielomiany. Skoro oba mają pierwiastek w 1, to oba dzielą się przez $x-1$ i można to dzielenie wykonać :) $\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x^3+x^2+x-2)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3)}= \lim_{x \to 1}\frac{x^3+x^2+x-2}{x^4+x^3+x^2+x-3}=1$

kiciur postów: 5	2012-11-28 20:50:17 Dzięki wielkie, pozwoliło mi to rozwiązać kilka kolejnych przykładów. Mam jeszcze jeszcze jedno pytanie (chodź pewnie na nim się nie skończy). Mianowicie, jak pozbyć się pierwiastków w granicy tego typu: $\lim_{x \to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}$ Próbowałem kombinować z zamianą pierwiastka na x z wykładnikiem, ale że tak powiem nie wychodzi. Co mógłbym tutaj zastosować, ewentualnie z czego skorzystać?

tumor postów: 8070	2012-11-28 21:19:06 Można zastosować podstawienie $y=\sqrt{x}$, $y^2=x$ (co będzie słuszne dla $x$ bliskich $1$) Oczywiście $x\to 1 \iff y \to 1$. Dostajemy granicę $\lim_{y \to 1}\frac{y^2-y}{y^2+y-2}= \lim_{y \to 1}\frac{y(y-1)}{(y-1)(y+2)}= \lim_{y \to 1}\frac{y}{y+2}=\frac{1}{3}$ ------- Możemy usunąć pierwiastek z mianownika $\lim_{x \to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-2+\sqrt{x}}\frac{x-2-\sqrt{x}}{x-2-\sqrt{x}}= \lim_{x \to 1}\frac{x^2-x-2x\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{x^2-5x+4}= \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-2\sqrt{x})}{(x-1)(x-4)}= \lim_{x \to 1}\frac{x-2\sqrt{x}}{x-4}=\frac{1}{3}$ ------- Można nawet zaszaleć z de l'Hospitalem. Nie ma jednej metody, licz jak chcesz, byle uzasadniać kroki. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj