logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 714

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kiciur
postów: 5
2012-11-28 19:07:29

Cześć

Kolejne starcie z granicami, rozwiązałem już kilkadziesiąt przykładów i niestety zatrzymałem się na jednym:

$\lim_{x \to 1}\frac{x^{4}-3x+2}{x^{5}-4x+3}$

Nie mogę pozbyć się tych x na początku z wysokim wykładnikiem. Czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć z czego mógłbym skorzystać przy rozwiązaniu (poza regułą de l'Hospitala)? Próbowałem kombinować z wzorami skróconego mnożenia ale nie chce mi wyjść.


tumor
postów: 8085
2012-11-28 19:33:40

Możesz dzielić wielomiany. Skoro oba mają pierwiastek w 1, to oba dzielą się przez $x-1$ i można to dzielenie wykonać :)

$\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x^3+x^2+x-2)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3)}=
\lim_{x \to 1}\frac{x^3+x^2+x-2}{x^4+x^3+x^2+x-3}=1$


kiciur
postów: 5
2012-11-28 20:50:17

Dzięki wielkie, pozwoliło mi to rozwiązać kilka kolejnych przykładów. Mam jeszcze jeszcze jedno pytanie (chodź pewnie na nim się nie skończy). Mianowicie, jak pozbyć się pierwiastków w granicy tego typu:

$\lim_{x \to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}$

Próbowałem kombinować z zamianą pierwiastka na x z wykładnikiem, ale że tak powiem nie wychodzi. Co mógłbym tutaj zastosować, ewentualnie z czego skorzystać?


tumor
postów: 8085
2012-11-28 21:19:06

Można zastosować podstawienie $y=\sqrt{x}$, $y^2=x$ (co będzie słuszne dla $x$ bliskich $1$)

Oczywiście $x\to 1 \iff y \to 1$.

Dostajemy granicę
$\lim_{y \to 1}\frac{y^2-y}{y^2+y-2}=
\lim_{y \to 1}\frac{y(y-1)}{(y-1)(y+2)}=
\lim_{y \to 1}\frac{y}{y+2}=\frac{1}{3}$

-------

Możemy usunąć pierwiastek z mianownika

$\lim_{x \to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-2+\sqrt{x}}\frac{x-2-\sqrt{x}}{x-2-\sqrt{x}}=
\lim_{x \to 1}\frac{x^2-x-2x\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{x^2-5x+4}=
\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-2\sqrt{x})}{(x-1)(x-4)}=
\lim_{x \to 1}\frac{x-2\sqrt{x}}{x-4}=\frac{1}{3}$


-------

Można nawet zaszaleć z de l'Hospitalem. Nie ma jednej metody, licz jak chcesz, byle uzasadniać kroki. ;)



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 92 drukuj