logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 716

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

Marcin
postów: 484
2012-11-28 19:28:31

2. Obliczyć granicę ciągu $\lim_{n \to \infty}(\frac{n^{2}+3n}{n^{2}+4})^{n-1}$




tumor
postów: 8085
2012-11-28 19:44:20

$(\frac{n^2+3n}{n^2+4})^{n-1}=
(\frac{n^2+4+3n-4}{n^2+4})^{n-1}=
(1+\frac{3n-4}{n^2+4})^{n-1}=
(1+\frac{3n-4}{n^2+4})^{\frac{n^2+4}{3n-4}\frac{3n-4}{n^2+4}(n-1)}=
\left((1+\frac{3n-4}{n^2+4})^{\frac{n^2+4}{3n-4}}\right)^\frac{(3n-4)(n-1)}{n^2+4}\longrightarrow e^3$




Marcin
postów: 484
2012-11-28 20:29:20

dlaczego wychodzi e do trzeciej?



tumor
postów: 8085
2012-11-28 20:34:28

To, co jest w dużym nawiasie, to praktycznie

$(1+\frac{1}{n})^n$

czyli zbiega do $e$. W tym wzorze nie ma znaczenia, czy jest $n$, czy $2n$, czy $8723847n^{17}$. Istotne jest, że w miejscu $n$ jest dwukrotnie to samo wyrażenie, które dąży do $+\infty$. Wtedy granicą jest $e$.

Natomiast wykładnik nad dużym nawiasem ma granicę równą 3 (do policzenia oddzielnie, ale bardzo prosta).



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj