Analiza funkcjonalna, zadanie nr 722
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sympatia17 post贸w: 42 |  2012-11-28 23:15:42Czy funkcje f oraz g takie, 偶e: $f: (R^2,\rho_1) \rightarrow (R^2,\beta)$ i $g: (R^2.\beta) \rightarrow (R^2,\rho_1)$ oraz $f(x)=x$ i $g(x)=x$ s膮 ci膮g艂e? $\rho_1$ - metryka maksimum $\beta(x,y)=\left\{\begin{matrix} \rho(x, 0) + \rho(y, 0), gdy x, y, 0 nie s膮 wsp贸艂lniowe\\ \rho(x,y), gdy x, y, 0 s膮 wsp贸lnilniowe \end{matrix}\right.$, $(X, \rho)$ jest metryk膮 euklidesow膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-03 12:16:04 Mamy sprawdzi膰, czy przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty, wystarczy sprawdzi膰, czy zbi贸r bazowy w sensie jednej metryki jest otwarty w sensie drugiej) a) sprawdzamy przeciwobraz poprzez $f$. Bierzemy kul臋 otwart膮 $K_\beta (S,\epsilon)$ o 艣rodku $S=(x_0,y_0)$ w sensie metryki $\beta$. Je艣li $S=(0,0)$ to dostajemy ko艂o bez brzegu, a je艣li oddalamy si臋 z $S$ od $(0,0)$ to nasz zbi贸r wygl膮da, jakby zawarto艣膰 kuli \"ucieka艂a\" po jednej prostej. :) To nam sugeruje, gdzie szuka膰 kontrprzyk艂adu. We藕my np. $S=(1,1)$ oraz $\epsilon=\sqrt{2}$ Wtedy $K_\beta (S,\epsilon)$ jest odcinkiem (bez ko艅c贸w) prostej $y=x$ dla $x\in (0,2)$. Taki odcinek nie jest otwarty w metryce maksimum, we藕my bowiem $(x_1,y_1)$ nale偶膮cy do tego odcinka, dla ka偶dego $\delta >0$ kula $K_{\rho_1}((x_1,y_1),\delta)$ \"wystaje\" poza $K_\beta (S,\epsilon)$, tzn $K_{\rho_1}((x_1,y_1),\delta)\backslash K_\beta (S,\epsilon) \neq \emptyset$ $f$ ci膮g艂a nie jest b) sprawdzamy przeciwobraz poprzez $g$ Bierzemy $S$ dowolny, $\epsilon>0$, mamy $D=K_{\rho_1}(S,\epsilon)$, kula ta jest kwadratem bez brzegu o bokach r贸wnoleg艂ych do osi uk艂adu. Dla $S_1=(x_1,y_1)\in D$, $S_1\neq (0,0)$ istnieje $\delta$ spe艂niaj膮ca $\rho(S_1,(0,0))>\delta>0$ taka, 偶e $K_\rho (S_1,\delta)\subset D$, czyli $K_\beta (S_1,\delta)\subset D$. Je艣li $S_1=(0,0)\in D$ to tak偶e istnieje $\delta>0$ taka, 偶e $K_\rho (S_1,\delta)\subset D$, czyli $K_\beta (S_1,\delta)\subset D$. g jest ci膮g艂a |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj