logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza funkcjonalna, zadanie nr 724

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sympatia17
postów: 42
2012-12-01 14:43:23

Niech $<X,\tau>$ będzie przestrzenią topologiczną i niech $X_0 \subset X$, $X_0 \neq 0$. Wykazać, że rodzina $\tau_0$ wszystkich zbiorów postaci $A_0=A \cap X_0$, gdzie $A \in \tau$ jest topologią w $X_0$. Topologię $\tau_0$ nazywamy topologią indukowaną w $X_0$ przez $<X,\tau>$

Bardzo proszę o pomoc.

Wiadomość była modyfikowana 2012-12-01 14:44:04 przez sympatia17

tumor
postów: 8085
2012-12-01 17:06:55

1) $\emptyset \in \tau_0$
$X_0=X\cap X_0 \in \tau_0$

2) Niech $R$ będzie rodziną zbiorów postaci $A\cap X_0$, $R=\{A_{t0}: A_{t0}=A_t\cap X_0, A_t\in \tau, t\in T\}$

$\bigcup R=\bigcup_{t\in T}(A_t\cap X_0)=(\bigcup_{t\in T}A_t)\cap X_0$
Oczywiście $\bigcup_{t\in T}A_t \in \tau$, zatem
$\bigcup R \in \tau_0$

3) $A,B \in \tau$, $A_0=A\cap X_0$, $B_0\cap X_0$,
$A_0\cap B_0=A\cap B\cap X_0=(A\cap B)\cap X_0
A\cap B \in \tau$
zatem $(A\cap B)\cap X_0\in \tau_0$
$A_0\cap B_0\in \tau_0$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 37 drukuj