logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 740

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

isia1234
postów: 11
2012-12-05 16:06:14

Zbadaj czy istnieje granica ciągu lim((sin n pi)/2 + pi/2). Chodzi o wyznaczenie podciągów i dojście do wniosku że granica nie isnieje bo podciągi zbiegają do różnych granic. Z góry
dziękuję za rozwiązanie:)



tumor
postów: 8085
2012-12-05 17:35:47

Panna. Tu się da zapisać granicę ładnie.

$\lim_{n \to \infty}(\frac{sinn\pi}{2}+\frac{\pi}{2})$

Warto byłoby dodać, czy mamy tam
$sin (n\pi)$ czy $sin(n)\pi$, bo to jednak coś innego.

Jeśli mamy $sin (n\pi)$, dla $n\in N$ mamy $sin (n\pi)=0$, czyli

$\lim_{n \to \infty}(0+\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$

ale skoro mówisz, że granica ma nie istnieć, to liczymy $sin(n)\pi$

$\lim_{n \to \infty}(\frac{sin(n)\pi}{2}+\frac{\pi}{2})=?$
Przykład jest brzydki, bo dla naturalnych $n$ sinus przyjmuje pokichane wartości. Łatwiej zrobić to, co mówisz, bez wskazywania jawnie granic częściowych.

1. $sin(n)>\frac{1}{10}$ dla nieskończenie wielu $n\in N$

Jeśli bowiem $sin(n_0)\in[-1,\frac{1}{10}]$
to $n_0 \in [(2k-1)\pi-\frac{\pi}{30}, 2k\pi+\frac{\pi}{30}]$ dla pewnego $k$ naturalnego, a przedział $(2k\pi+\frac{\pi}{30},(2k+1)\pi-\frac{\pi}{30})$ jest długości $\frac{28}{30}\pi>1$ i zawiera liczbę naturalną $n_1$ większą od $n_0$ oraz $sin(n_1)>\frac{1}{10}$.

identycznie argumentujemy, że

2. $sin(n)<-\frac{1}{10}$ dla nieskończenie wielu $n\in N$

3. Skoro ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny, to istnieją granice częściowe ciągu $sin(n)$ równe $a\in [\frac{1}{10},1]$ i $b\in [-1,-\frac{1}{10}]$, oczywiście $a\neq b$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 25 drukuj