Algebra, zadanie nr 746
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2012-12-07 19:07:55czy $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ jest izomorficzne z {$z\in \mathbb{C}:\exists_{n \in \mathbb{N}}:z^{n}=1$} tw.o izomorfizmie Je艣li f: G$\rightarrow$G\' jest homomorfizmem grup to wtedy G/Ker f jest izomorficzne z Im f. na podstawie tego tw. szukamy f: $\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{C}$ 偶e 1)f jest homomorfizmem 2)Ker f = $\mathbb{Z}$ 3)Im f = G\' pomo偶e kto艣 znale偶膰 t膮 funkcj臋 a p贸偶niej sprawdzi膰 czy spe艂nione s膮 dla niej te 3 warunki. z g贸ry dzi臋ki |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-06 20:53:46 Rozwa偶my funkcj臋 $f(\frac{p}{q})=cos(\frac{p}{q}*2\pi)+isin(\frac{p}{q}*2\pi)$ Zauwa偶amy najpierw, 偶e warto艣膰 funkcji nie zale偶y od reprezentacji liczby wymiernej za pomoc膮 u艂amka, to jest $f(\frac{ap}{aq})=f(\frac{p}{q})$. 1) $f(\frac{a}{b}+\frac{p}{q})=cos((\frac{a}{b}+\frac{p}{q})*2\pi)+isin((\frac{a}{b}+\frac{p}{q})*2\pi)= (cos(\frac{a}{b}*2\pi)+isin(\frac{a}{b})*2\pi)(cos(\frac{p}{q}*2\pi)+isin(\frac{p}{q})*2\pi)$ (co 艂adnie wida膰, gdy si臋 praw膮 stron臋 wymno偶y i skorzysta ze wzor贸w na iloczyny funkcji trygonometrycznych/funkcje sumy k膮t贸w) Prawa strona wynosi oczywi艣cie $f(\frac{a}{b})*f(\frac{p}{q})$ 2) dla oczywi艣cie dla $k$ ca艂kowitego jest $cos2k\pi=1$, $sin2k\pi=0$, ponadto dla $\alpha\neq 2k\pi$ mamy $cos\alpha \neq 1$ 3) Niech $z\in G`$ i $n\in N$ jest takie, 偶e $z^n=1$, wobec tego $z=f(\frac{1}{n})$ --- Uwaga: wymagane jest nie zalicza膰 zera do naturalnych. Wida膰 czemu? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj