Algebra, zadanie nr 746

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2012-12-07 19:07:55 czy $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ jest izomorficzne z {$z\in \mathbb{C}:\exists_{n \in \mathbb{N}}:z^{n}=1$} tw.o izomorfizmie Jeśli f: G$\rightarrow$G' jest homomorfizmem grup to wtedy G/Ker f jest izomorficzne z Im f. na podstawie tego tw. szukamy f: $\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{C}$ że 1)f jest homomorfizmem 2)Ker f = $\mathbb{Z}$ 3)Im f = G' pomoże ktoś znależć tą funkcję a póżniej sprawdzić czy spełnione są dla niej te 3 warunki. z góry dzięki

tumor postów: 8070	2015-09-06 20:53:46 Rozważmy funkcję $f(\frac{p}{q})=cos(\frac{p}{q}2\pi)+isin(\frac{p}{q}2\pi)$ Zauważamy najpierw, że wartość funkcji nie zależy od reprezentacji liczby wymiernej za pomocą ułamka, to jest $f(\frac{ap}{aq})=f(\frac{p}{q})$. 1) $f(\frac{a}{b}+\frac{p}{q})=cos((\frac{a}{b}+\frac{p}{q})2\pi)+isin((\frac{a}{b}+\frac{p}{q})2\pi)= (cos(\frac{a}{b}2\pi)+isin(\frac{a}{b})2\pi)(cos(\frac{p}{q}2\pi)+isin(\frac{p}{q})2\pi)$ (co ładnie widać, gdy się prawą stronę wymnoży i skorzysta ze wzorów na iloczyny funkcji trygonometrycznych/funkcje sumy kątów) Prawa strona wynosi oczywiście $f(\frac{a}{b})*f(\frac{p}{q})$ 2) dla oczywiście dla $k$ całkowitego jest $cos2k\pi=1$, $sin2k\pi=0$, ponadto dla $\alpha\neq 2k\pi$ mamy $cos\alpha \neq 1$ 3) Niech $z\in G`$ i $n\in N$ jest takie, że $z^n=1$, wobec tego $z=f(\frac{1}{n})$ --- Uwaga: wymagane jest nie zaliczać zera do naturalnych. Widać czemu?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj