logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza funkcjonalna, zadanie nr 749

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

frappuccino
postów: 16
2012-12-08 01:47:58

Zbadaj czy funkcja $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-4x+6y+7$ posiada ekstremum, jeśli tak to określ, czy jest to minimum, czy maksimum i znajdź je.


tumor
postów: 8085
2012-12-09 14:38:43

Liczymy sobie pochodne cząstkowe.

$f`_x(x,y)=2x-4$
$f`_y(x,y)=2y+6$

Obie pochodne zerują się tylko w punkcie (2,-3), być może jest tam ekstremum, sprawdzamy.

$f``_{xx}(x,y)=2$
$f``_{xy}(x,y)=0$
$f``_{yx}(x,y)=0$
$f``_{yy}(x,y)=2$

$\left|
\begin{matrix}
f``_{xx}(2,-3)&f``_{xy}(2,-3)\\
f``_{yx}(2,-3)&f``_{yy}(2,-3)\\
\end{matrix}
\right|=
\left|
\begin{matrix}
2&0\\
0&2\\
\end{matrix}
\right|=4
$

Wyznacznik większy od $0$, także $f``_{xx}(2,-3)>0$, zatem w punkcie $(2,-3)$ mamy minimum lokalne.
$f(2,-3)=4+9-8-18+7=-6$

Wiadomość była modyfikowana 2012-12-09 15:27:55 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 103 drukuj