Analiza matematyczna, zadanie nr 753
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jacknoise post贸w: 14 |  2012-12-09 00:12:50zbadaj, korzystaj膮c z kryterium Leibnitza oraz twierdzenia bezwzgl臋dniej zbie偶no艣ci, czy ci膮g jest bezwzgl臋dnie zbie偶ny, warunkowo zbie偶ny, czy rozbie偶ny: $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+1}{n^{2}}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(n+1)!}{n^{n}}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\frac{n+1}{n+2})^{n^{2}}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n*4^{n+1}}{3^{n-1}}$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-12-09 00:13:58 przez jacknoise |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-09 07:55:47 a) $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{n+1}{n^2}$ $\frac{n+1}{n^2}>\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$ Nie jest zbie偶ny bezwzgl臋dnie. $\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n^2}=0$ $\frac{n+1}{n^2}$ jest ci膮giem nierosn膮cym $\frac{\frac{n+1+1}{(n+1)^2}}{\frac{n+1}{n^2}}= \frac{n+1+1}{(n+1)^2}\cdot\frac{n^2}{n+1}=\frac{n^3+2n^2}{n^3+3n^2+3n+3}<1$ $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{n+1}{n^2}$ jest zbie偶ny warunkowo z kryt. Leibniza. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-09 08:11:40 b) $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{(n+1)!}{n^n}$ z kryterium d\'Alemberta $\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+2)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{(n+1)!}{n^n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{(n+1)!}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^{n+1}}{n(n+1)!}= \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{n}\cdot (\frac{n}{n+1})^{n+1}= \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{n}\cdot (1-\frac{1}{n+1})^{n+1}=\frac{1}{e}$ zbie偶ny bezwzgl臋dnie |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-09 08:23:00 c) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\frac{n+1}{n+2})^{n^2}$ z kryterium Cauchy\'ego $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{n+1}{n+2})^{n^2}}= \lim_{n \to \infty}(\frac{n+2-1}{n+2})^{(\frac{n+2}{n+2}n)}= \lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n+2})^{((n+2)\frac{n}{n+2})}= \lim_{n \to \infty}\left((1-\frac{1}{n+2})^{(n+2)}\right)^{\frac{n}{n+2}}=\frac{1}{e}$ zbie偶ny bezwzgl臋dnie |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-09 08:30:16 d) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n\cdot 4^{n+1}}{3^{n-1}}$ W poprzednich przyk艂adach sprawdzali艣my, cho膰 nie pisz膮c tego, warunek konieczny zbie偶no艣ci szeregu. Wcze艣niej sprawdzenie wypada艂o pozytywnie, natomiast tu sobie zapiszemy: $\lim_{n \to \infty}\frac{n\cdot 4^{n+1}}{3^{n-1}}= \lim_{n \to \infty}16n\cdot \frac{4^{n-1}}{3^{n-1}}= \lim_{n \to \infty}16n\cdot (\frac{4}{3})^{n-1}=\infty$ $\lim_{n \to \infty}(-1)^n\frac{n\cdot 4^{n+1}}{3^{n-1}}$ nie istnieje (bo dla $n$ parzystych granica cz臋艣ciowa r贸wna $\infty$, dla $n$ nieparzystych granica cz臋艣ciowa r贸wna $-\infty$) Nie jest spe艂niony warunek konieczny, szereg nie jest zbie偶ny wcale. |
jacknoise post贸w: 14 | 2012-12-09 11:27:42 Wielkie dzi臋ki, jeszcze tylko jednej rzeczy nie rozumiem. Kryteria Cauchy\'ego i d\'Alemberta pozwalaj膮 okre艣li膰, czy szereg jest zbie偶ny, czy rozbie偶ny, sk膮d wnioski o bezwzgl臋dnej lub warunkowej zbie偶no艣ci? |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-09 13:39:18 Kryteria Cauchy\'ego i d\'Alemberta daj膮 zbie偶no艣膰 bezwzgl臋dn膮. Ci膮gi maj膮 wyrazy dodatnie/ujemne naprzemiennie, natomiast u偶ywaj膮c kryteri贸w d\'Alemberta czy Cauchy\'ego podstawia艂em warto艣膰 bezwzgl臋dn膮 z wyraz贸w ci膮g贸w (wtedy ten fragment $(-1)^n$ znika bo jest r贸wny $1$) Kryteria Cauchy\'ego i d\'Aleberta daj膮 zbie偶no艣膰 bezwzgl臋dn膮 szeregu $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$. Natomiast $-|a_n|\le a_n \le |a_n|$, zatem (w zasadzie z kryterium por贸wnawczego) dostajemy bezwzgl臋dn膮 zbie偶no艣膰 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ (niezale偶nie od tego, kt贸re wyrazy ci膮gu $a_n$ maj膮 znak minus). Natomiast je艣li szereg nie jest zbie偶ny bezwzgl臋dnie (jak ten w przyk艂adzie a), to mo偶e (ale nie musi) by膰 zbie偶ny warunkowo. W przyk艂adzie a), gdyby nie $(-1)^n$ to szereg by艂by rozbie偶ny (z kryterium por贸wnawczego), czyli nie ma zbie偶no艣ci bezwzgl臋dnej. Zastosowanie w tym momencie kryterium Leibniza pozwala ustali膰, czy jest zbie偶ny warunkowo. Gdyby zastosowa膰 kryterium Leibniza do b) lub c), ale bez sprawdzania wcze艣niej bezwzgl臋dnej zbie偶no艣ci innym sposobem, otrzymaliby艣my zbie偶no艣膰, ale bez informacji, czy jest bezwzgl臋dna czy tylko warunkowa. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj