Analiza matematyczna, zadanie nr 755
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jacknoise post贸w: 14 |  2012-12-09 12:09:16zbadaj, czy szereg jest zbie偶ny warunkowo czy bezwzgl臋dnie. a) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ b) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n^{r}}$ r$\in$R zbadaj zbie偶no艣膰 szeregu: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+5)}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-09 13:50:28 a) $\frac{1}{4\sqrt{n}} \le\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \le\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le \frac{1}{\sqrt{n}}$ Nie ma zbie偶no艣ci bezwzgl臋dnej (z kryterium por贸wnawczego, ale mo偶e najpierw wypada zrobi膰 przyk艂ad b) Natomiast jest zbie偶no艣膰 warunkowa. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0$ Ci膮g $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ jest nierosn膮cy. Czyli spe艂nia warunki kryterium Leibniza. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-09 14:15:56 b) 1) dla $r\le 0$ rozbie偶ny, bo nie spe艂nia warunku koniecznego zbie偶no艣ci szereg贸w. 2) $r=1$ Nie jest zbie偶ny bezwzgl臋dnie. W og贸le mog臋 u偶y膰 czego艣 szybkiego, np. kryterium ca艂kowego? :P Zauwa偶, 偶e $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \ge \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx$ natomiast $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}dx=\lim_{b \to \infty}(lnb-ln1)=\infty$ Natomiast $\frac{1}{n}$ jest nierosn膮cy i ma granic臋 w $0$, czyli $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ jest zbie偶ny warunkowo z kryterium Leibniza. 3) $0<r<1$ Identycznie jak dla $r=1$ mamy zbie偶no艣膰 warunkow膮, ale nie bezwzgl臋dn膮. Warunkow膮 uzasadniamy tak samo (kryterium Leibniza), a brak zbie偶no艣ci bezwzgl臋dnej wynika z kryterium por贸wnawczego, bo $\frac{1}{n^r}>\frac{1}{n}$ 4) $r>1$ U偶yjemy zn贸w kryterium ca艂kowego. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^r} \le 1+ \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^r}dx=1+\lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^r}dx= 1+\lim_{b \to \infty}(\frac{b^{-r+1}}{-r+1}-\frac{1^{-r+1}}{-r+1})=1+\frac{1}{r-1}<\infty$ czyli zbie偶no艣膰 bezwzgl臋dna |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-09 14:18:23 c) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+5)}$ jest zbie偶ny bezwzgl臋dnie na mocy kryterium por贸wnawczego i rozumowania z punktu b)4) Mamy bowiem $\frac{1}{n(n+5)}<\frac{1}{n^2}$ |
jacknoise post贸w: 14 | 2012-12-09 14:18:44 niestety nie mia艂em jeszcze kryterium ca艂kowego, wi臋c niezbyt rozumiem rozwi膮zanie :( |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-09 14:51:33 A w og贸le ca艂ki oznaczone by艂y? Powinny by膰. :) Czy jeszcze nic nie by艂o i zaczynacie od ci膮g贸w i szereg贸w? Narysuj $y=\frac{1}{x}$ $\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx$ to pole pod wykresem tej funkcji mi臋dzy $x=a$, a $x=b$ (dla $0<a<b$). Na przyk艂ad $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ jest polem pod wykresem dla $x\in [1,2]$. Pole to jest mniejsze ni偶 $1$. Og贸lniej, je艣li $0<a$, to $\int_{a}^{a+1}\frac{1}{x}dx<\frac{1}{a}$. (zaznacz sobie takie pola na wykresie i wymy艣l - to 艂atwe - dlaczego s膮 mniejsze ni偶 $\frac{1}{a}$). $\int_{a}^{\infty}=\int_{a}^{a+1}+\int_{a+1}^{a+2}+\int_{a+2}^{a+3}+...$ Dlatego mo偶na szereg ograniczy膰 z g贸ry przez warto艣膰 ca艂ki. I analogicznie mo偶na ograniczy膰 szereg z do艂u. Je艣li ca艂ek nie mia艂e艣 wcale, to trzeba u偶ywa膰 innych kryteri贸w, 偶eby doj艣膰 do tych samych wynik贸w. Je艣li znajd臋 czas, to napisz臋. :) |
jacknoise post贸w: 14 | 2012-12-09 14:57:55 nie mia艂em wog贸le ca艂ek |
jacknoise post贸w: 14 | 2012-12-11 13:18:16 ok, z g贸ry dzi臋ki. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj