logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 755

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jacknoise
postów: 14
2012-12-09 12:09:16

zbadaj, czy szereg jest zbieżny warunkowo czy bezwzględnie.

a) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

b) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n^{r}}$

r$\in$R

zbadaj zbieżność szeregu:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+5)}$


tumor
postów: 8085
2012-12-09 13:50:28

a)

$\frac{1}{4\sqrt{n}} \le\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \le\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le \frac{1}{\sqrt{n}}$

Nie ma zbieżności bezwzględnej (z kryterium porównawczego, ale może najpierw wypada zrobić przykład b)

Natomiast jest zbieżność warunkowa.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0$

Ciąg $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ jest nierosnący.

Czyli spełnia warunki kryterium Leibniza.


tumor
postów: 8085
2012-12-09 14:15:56

b)

1) dla $r\le 0$ rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów.

2) $r=1$

Nie jest zbieżny bezwzględnie. W ogóle mogę użyć czegoś szybkiego, np. kryterium całkowego? :P

Zauważ, że $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \ge \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx$
natomiast
$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}dx=\lim_{b \to \infty}(lnb-ln1)=\infty$

Natomiast $\frac{1}{n}$ jest nierosnący i ma granicę w $0$, czyli $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ jest zbieżny warunkowo z kryterium Leibniza.

3) $0<r<1$
Identycznie jak dla $r=1$ mamy zbieżność warunkową, ale nie bezwzględną. Warunkową uzasadniamy tak samo (kryterium Leibniza), a brak zbieżności bezwzględnej wynika z kryterium porównawczego, bo
$\frac{1}{n^r}>\frac{1}{n}$

4) $r>1$

Użyjemy znów kryterium całkowego.
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^r} \le 1+ \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^r}dx=1+\lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^r}dx=
1+\lim_{b \to \infty}(\frac{b^{-r+1}}{-r+1}-\frac{1^{-r+1}}{-r+1})=1+\frac{1}{r-1}<\infty$

czyli zbieżność bezwzględna




tumor
postów: 8085
2012-12-09 14:18:23

c)

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+5)}$ jest zbieżny bezwzględnie na mocy kryterium porównawczego i rozumowania z punktu b)4)

Mamy bowiem
$\frac{1}{n(n+5)}<\frac{1}{n^2}$


jacknoise
postów: 14
2012-12-09 14:18:44

niestety nie miałem jeszcze kryterium całkowego, więc niezbyt rozumiem rozwiązanie :(


tumor
postów: 8085
2012-12-09 14:51:33

A w ogóle całki oznaczone były? Powinny być. :)

Czy jeszcze nic nie było i zaczynacie od ciągów i szeregów?

Narysuj $y=\frac{1}{x}$

$\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx$ to pole pod wykresem tej funkcji między $x=a$, a $x=b$ (dla $0<a<b$).

Na przykład $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ jest polem pod wykresem dla $x\in [1,2]$. Pole to jest mniejsze niż $1$.

Ogólniej, jeśli $0<a$, to
$\int_{a}^{a+1}\frac{1}{x}dx<\frac{1}{a}$.

(zaznacz sobie takie pola na wykresie i wymyśl - to łatwe - dlaczego są mniejsze niż $\frac{1}{a}$).

$\int_{a}^{\infty}=\int_{a}^{a+1}+\int_{a+1}^{a+2}+\int_{a+2}^{a+3}+...$
Dlatego można szereg ograniczyć z góry przez wartość całki. I analogicznie można ograniczyć szereg z dołu.

Jeśli całek nie miałeś wcale, to trzeba używać innych kryteriów, żeby dojść do tych samych wyników. Jeśli znajdę czas, to napiszę. :)



jacknoise
postów: 14
2012-12-09 14:57:55

nie miałem wogóle całek


jacknoise
postów: 14
2012-12-11 13:18:16

ok, z góry dzięki.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 71 drukuj