Analiza matematyczna, zadanie nr 755

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jacknoise postów: 14	2012-12-09 12:09:16 zbadaj, czy szereg jest zbieżny warunkowo czy bezwzględnie. a) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ b) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n^{r}}$ r$\in$R zbadaj zbieżność szeregu: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+5)}$

tumor postów: 8070	2012-12-09 13:50:28 a) $\frac{1}{4\sqrt{n}} \le\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \le\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le \frac{1}{\sqrt{n}}$ Nie ma zbieżności bezwzględnej (z kryterium porównawczego, ale może najpierw wypada zrobić przykład b) Natomiast jest zbieżność warunkowa. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0$ Ciąg $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ jest nierosnący. Czyli spełnia warunki kryterium Leibniza.

tumor postów: 8070	2012-12-09 14:15:56 b) 1) dla $r\le 0$ rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. 2) $r=1$ Nie jest zbieżny bezwzględnie. W ogóle mogę użyć czegoś szybkiego, np. kryterium całkowego? :P Zauważ, że $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \ge \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx$ natomiast $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}dx=\lim_{b \to \infty}(lnb-ln1)=\infty$ Natomiast $\frac{1}{n}$ jest nierosnący i ma granicę w $0$, czyli $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ jest zbieżny warunkowo z kryterium Leibniza. 3) $0<r<1$ Identycznie jak dla $r=1$ mamy zbieżność warunkową, ale nie bezwzględną. Warunkową uzasadniamy tak samo (kryterium Leibniza), a brak zbieżności bezwzględnej wynika z kryterium porównawczego, bo $\frac{1}{n^r}>\frac{1}{n}$ 4) $r>1$ Użyjemy znów kryterium całkowego. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^r} \le 1+ \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^r}dx=1+\lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^r}dx= 1+\lim_{b \to \infty}(\frac{b^{-r+1}}{-r+1}-\frac{1^{-r+1}}{-r+1})=1+\frac{1}{r-1}<\infty$ czyli zbieżność bezwzględna

tumor postów: 8070	2012-12-09 14:18:23 c) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+5)}$ jest zbieżny bezwzględnie na mocy kryterium porównawczego i rozumowania z punktu b)4) Mamy bowiem $\frac{1}{n(n+5)}<\frac{1}{n^2}$

jacknoise postów: 14	2012-12-09 14:18:44 niestety nie miałem jeszcze kryterium całkowego, więc niezbyt rozumiem rozwiązanie :(

tumor postów: 8070	2012-12-09 14:51:33 A w ogóle całki oznaczone były? Powinny być. :) Czy jeszcze nic nie było i zaczynacie od ciągów i szeregów? Narysuj $y=\frac{1}{x}$ $\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx$ to pole pod wykresem tej funkcji między $x=a$, a $x=b$ (dla $0<a<b$). Na przykład $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ jest polem pod wykresem dla $x\in [1,2]$. Pole to jest mniejsze niż $1$. Ogólniej, jeśli $0<a$, to $\int_{a}^{a+1}\frac{1}{x}dx<\frac{1}{a}$. (zaznacz sobie takie pola na wykresie i wymyśl - to łatwe - dlaczego są mniejsze niż $\frac{1}{a}$). $\int_{a}^{\infty}=\int_{a}^{a+1}+\int_{a+1}^{a+2}+\int_{a+2}^{a+3}+...$ Dlatego można szereg ograniczyć z góry przez wartość całki. I analogicznie można ograniczyć szereg z dołu. Jeśli całek nie miałeś wcale, to trzeba używać innych kryteriów, żeby dojść do tych samych wyników. Jeśli znajdę czas, to napiszę. :)

jacknoise postów: 14	2012-12-09 14:57:55 nie miałem wogóle całek

jacknoise postów: 14	2012-12-11 13:18:16 ok, z góry dzięki.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj