Inne, zadanie nr 756
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
rozkodowana post贸w: 1 |  2012-12-09 14:34:20Udowodnij metod膮 indukcji mateatycznej, 偶e ci膮g an=(1−√5/2)^n + (1+√5/2)^n spe艂nia r贸wnanie a_n+2 = a_n+1 + a_n, gdzie a_1 =1 , a_2 = 3. Podstawi艂am dane, zgadzaj膮 si臋 . I zawsze w tym miejscu nie wiem co dalej. Prosz臋 serdecznie o pomoc |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-06 18:06:32 Ta nieczytelna rzecz to $a_n=(1-\frac{\sqrt{5}}{2})^n+(1+\frac{\sqrt{5}}{2})^n$ i 艣wiadczy o nieznajomo艣ci kolejno艣ci wykonywania dzia艂a艅. Zmie艅my na $a_n=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$ Teraz dane pocz膮tkowe si臋 zgadzaj膮. Wobec tego jeszcze sprawdzimy $a_3=4$ (jest ok). Zak艂adamy teraz, 偶e wz贸r obowi膮zuje dla pewnego n, mamy sprawdzi膰, czy obowi膮zuje dla n+1. $a_{n+3}=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+3}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+3}=$ $(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+2}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+2} =$ $a_{n+2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+2}=$ $a_{n+2}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}*(\frac{\sqrt{5}-1}{2})*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}=$ $a_{n+2}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}=a_{n+2}+a_{n+1}$ No ale to nie jest indukcja, bo nigdzie nie korzystam z za艂o偶enia. Mo偶na fajnie indukcje udawa膰, pokazuj膮c, 偶e $a_{n+3}= (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^4 (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} +(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^4 (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}=$ $((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 +2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+1) (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}+ ((\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2+2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+1)(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}=a_{n+1}+2a_n+a_{n-1}$, co na mocy za艂o偶enia indukcyjnego jest r贸wne $a_{n+2}+a_{n+1}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj