logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 756

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

rozkodowana
postów: 1
2012-12-09 14:34:20

Udowodnij metodą indukcji mateatycznej, że ciąg an=(1−√5/2)^n + (1+√5/2)^n spełnia równanie a_n+2 = a_n+1 + a_n, gdzie a_1 =1 , a_2 = 3. Podstawiłam dane, zgadzają się . I zawsze w tym miejscu nie wiem co dalej. Proszę serdecznie o pomoc


tumor
postów: 8070
2015-09-06 18:06:32

Ta nieczytelna rzecz to

$a_n=(1-\frac{\sqrt{5}}{2})^n+(1+\frac{\sqrt{5}}{2})^n$ i świadczy o nieznajomości kolejności wykonywania działań. Zmieńmy na

$a_n=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$
Teraz dane początkowe się zgadzają.
Wobec tego jeszcze sprawdzimy $a_3=4$ (jest ok).

Zakładamy teraz, że wzór obowiązuje dla pewnego n, mamy sprawdzić, czy obowiązuje dla n+1.

$a_{n+3}=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+3}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+3}=$
$(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+2}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+2}

=$
$a_{n+2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+2}=$
$a_{n+2}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}*(\frac{\sqrt{5}-1}{2})*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}=$
$a_{n+2}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}=a_{n+2}+a_{n+1}$

No ale to nie jest indukcja, bo nigdzie nie korzystam z założenia. Można fajnie indukcje udawać, pokazując, że

$a_{n+3}=
(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^4
(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}
+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^4
(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}=$
$((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2
+2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+1)
(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}+
((\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2+2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+1)(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}=a_{n+1}+2a_n+a_{n-1}$, co na mocy założenia indukcyjnego jest równe $a_{n+2}+a_{n+1}$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj