logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 758

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2012-12-09 17:47:07

czy D(R)$\cup$U(R) = R?
gdzie D(R)-zbiór dzielników zera pierścienia R,
a U(R)-zbiór elementów odwracalnych pierścienia R

ma ktoś pomysł jak to rozstrzygnąć bądź pokazać???
z góry dziękuję za pomoc


tumor
postów: 8085
2012-12-09 22:32:19

Jeśli element jest odwracalny, to nie jest dzielnikiem zera. Jeśli jest dzielnikiem zera, to nie jest odwracalny. To są fakty.

Natomiast w zadaniu pytamy, czy jeśli element nie jest dzielnikiem zera, to jest odwracalny (lub czy jeśli nie jest odwracalny, to jest dzielnikiem zera). To już prawdą być nie musi. Szukamy kontrprzykładu:

$(Z,+,\cdot)$

W tym pierścieniu elementami odwracalnymi są tylko $1$ i $-1$, natomiast dzielnikiem $0$ jest jedynie $0$.
Oczywiście te trzy elementy nie dają w sumie całego Z.


mat12
postów: 221
2012-12-10 20:06:02

ok dzięki.czyli żeby suma była całym zbiorem Z to musi się składać ze wszystkich liczb całkowitych a w tym przykładzie tak nie jest,tak?


tumor
postów: 8085
2012-12-10 20:14:43

Tak, suma zbiorów to suma zbiorów. :)
Są pierścienie, gdzie suma $D(R)\cup U(R)$ dałaby cały pierścień, natomiast nie jest to regułą. Tu wystarczyło pokazać, że istnieje choć jedna liczba całkowita, która nie jest ani dzielnikiem zera, ani elementem odwracalnym. Liczba $9283489$ jest właśnie taka. :) I na tym można by skończyć.

Wiadomość była modyfikowana 2012-12-10 20:51:56 przez tumor

mat12
postów: 221
2012-12-10 20:17:54

ok rozumiem:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 27 drukuj