Algebra, zadanie nr 761
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2012-12-10 20:22:55jeszcze takie zadanie: W $\mathbb{R}\times \mathbb{Z}$ wyznaczy膰 elementy odwracalne i dzielniki zera z g贸ry dzi臋kuj臋. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-10 20:51:20 W $R$ odwracalne jest wszystko poza $0$ (bo to cia艂o). W $Z$ odwracalne s膮 tylko $1$ i $-1$. Zatem w $R\times Z$ odwracalne s膮 $(a,b)$ gdzie $a\in R^*, b=\pm 1$ $R$ nie ma w艂a艣ciwych dzielnik贸w zera, $Z$ nie ma w艂a艣ciwych dzielnik贸w zera, oba pier艣cienie maj膮 tylko niew艂a艣ciwy dzielnik zera, czyli $0$. W $R\times Z$ element $(0,0)$ jest elementem neutralnym dodawania, czyli zerem, czyli jest niew艂a艣ciwym dzielnikiem zera. Natomiast istniej膮 te偶 w艂a艣ciwe dzielniki zera. Zauwa偶my, 偶e elementy $(a,0)$ dla $a\neq 0$ oraz $(0,b)$ dla $b\neq 0$ s膮 niezerowe (to znaczy nie s膮 r贸wne elementowi neutralnemu dodawania). S膮 w艂a艣ciwymi dzielnikami zera, bo dla ka偶dego niezerowego elementu $x=(a,0)$ umiemy znale藕膰 niezerowy $y\in R\times Z$, 偶e $xy=(0,0)$. Wystarczy bowiem wzi膮膰 $y=(0,a)$. Podobnie dla ka偶dego niezerowego $x=(0,b) $znajdziemy $y$ taki, 偶e $xy=(0,0)$, wystarczy wzi膮膰 $y=(b,0)$. Elementy $(a,b)$, gdzie $a \neq 0 \neq b$ nie s膮 dzielnikami zera, gdy偶 nie istnieje element niezerowy $(c,d)$ taki, 偶e $(a,b)(c,d)=(0,0)$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj