logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 761

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2012-12-10 20:22:55

jeszcze takie zadanie:
W $\mathbb{R}\times \mathbb{Z}$ wyznaczyć elementy odwracalne i dzielniki zera

z góry dziękuję.


tumor
postów: 8085
2012-12-10 20:51:20

W $R$ odwracalne jest wszystko poza $0$ (bo to ciało).
W $Z$ odwracalne są tylko $1$ i $-1$.
Zatem w $R\times Z$ odwracalne są $(a,b)$ gdzie $a\in R^*, b=\pm 1$

$R$ nie ma właściwych dzielników zera, $Z$ nie ma właściwych dzielników zera, oba pierścienie mają tylko niewłaściwy dzielnik zera, czyli $0$.

W $R\times Z$ element $(0,0)$ jest elementem neutralnym dodawania, czyli zerem, czyli jest niewłaściwym dzielnikiem zera.
Natomiast istnieją też właściwe dzielniki zera.
Zauważmy, że elementy $(a,0)$ dla $a\neq 0$ oraz $(0,b)$ dla $b\neq 0$ są niezerowe (to znaczy nie są równe elementowi neutralnemu dodawania).

Są właściwymi dzielnikami zera, bo
dla każdego niezerowego elementu $x=(a,0)$ umiemy znaleźć niezerowy $y\in R\times Z$, że $xy=(0,0)$. Wystarczy bowiem wziąć $y=(0,a)$.

Podobnie dla każdego niezerowego $x=(0,b) $znajdziemy $y$ taki, że $xy=(0,0)$, wystarczy wziąć $y=(b,0)$.

Elementy $(a,b)$, gdzie $a \neq 0 \neq b$ nie są dzielnikami zera, gdyż nie istnieje element niezerowy $(c,d)$ taki, że $(a,b)(c,d)=(0,0)$.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 14 drukuj