Inne, zadanie nr 767

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ana1993 postów: 27	2012-12-11 14:16:34 Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji f(x)=$ln(1+x^{2})$ Najpierw wyznaczam dziedzinę, czyli $1+x^{2}>0$ Wychodzi, że x nalezy do przedzialu (-1,1) Liczę pierwszą pochodną, drugą i mam $\frac{-2x^{2}+2}{(1+x^{2})^{6}}$ Mianownik zawsze będzie większy od 0, więc o zerowaniu się drugiej pochodnej decyduje licznik, więc: f''(x)= 0 $\iff -2x^{2}+2 = 0 \iff x=1, x=-1$ Nie weim, co zrobić dalej. Te 2 punkty "podejrzane" o bycie punktami przegięcia, nie należą do dziedziny. A w odpowiedzi napisane jest, że są one punktami przegięcia. Proszę o wytłumaczenie

tumor postów: 8070	2012-12-11 15:52:01 A moim zdaniem dziedziną jest $R$. $f`(x)=\frac{2x}{1+x^2}$ $f``(x)=\frac{2(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x^2+2}{(1+x^2)^2}$ mianownik rzeczywiście zawsze dodatni, druga pochodna zeruje się dla $x_1=-1$ i dla $x_2=1$. Punkty te należą do dziedziny. Żeby sprawdzić, czy są punktami przegięcia, można sprawdzić wypukłość w otoczeniu tych punktów. Dla $x<-1 $mamy $f``(x)<0$. Wklęsła. Dla $-1<x<1$ mamy $f``(x)>0$. Wypukła. Dla $1<x$ mamy $f``(x)<0$. Wklęsła. Wypukłość zmienia się w tych punktach, zatem są to punkty przegięcia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj