logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Inne, zadanie nr 767

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ana1993
postów: 27
2012-12-11 14:16:34

Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji
f(x)=$ln(1+x^{2})$
Najpierw wyznaczam dziedzinę, czyli $1+x^{2}>0$
Wychodzi, że x nalezy do przedzialu (-1,1)
Liczę pierwszą pochodną, drugą i mam $\frac{-2x^{2}+2}{(1+x^{2})^{6}}$
Mianownik zawsze będzie większy od 0, więc o zerowaniu się drugiej pochodnej decyduje licznik, więc:
f''(x)= 0 $\iff -2x^{2}+2 = 0 \iff x=1, x=-1$
Nie weim, co zrobić dalej. Te 2 punkty "podejrzane" o bycie punktami przegięcia, nie należą do dziedziny. A w odpowiedzi napisane jest, że są one punktami przegięcia. Proszę o wytłumaczenie


tumor
postów: 8085
2012-12-11 15:52:01

A moim zdaniem dziedziną jest $R$.

$f`(x)=\frac{2x}{1+x^2}$
$f``(x)=\frac{2(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x^2+2}{(1+x^2)^2}$

mianownik rzeczywiście zawsze dodatni, druga pochodna zeruje się dla $x_1=-1$ i dla $x_2=1$. Punkty te należą do dziedziny.

Żeby sprawdzić, czy są punktami przegięcia, można sprawdzić wypukłość w otoczeniu tych punktów.
Dla $x<-1 $mamy $f``(x)<0$. Wklęsła.
Dla $-1<x<1$ mamy $f``(x)>0$. Wypukła.
Dla $1<x$ mamy $f``(x)<0$. Wklęsła.
Wypukłość zmienia się w tych punktach, zatem są to punkty przegięcia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 27 drukuj