logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 775

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

heteroheroina
postów: 22
2012-12-11 22:39:57

Oblicz granice ciągów $\lim_{x\to\infty}a_{n}$ gdzie $a_{n}$

a) $a_{n}$ = $\frac{1+3+5...+2n-1}{n^2+2n+3}$

b)$a_{n}=(\frac{n+1}{n-2})^{2n-1}$


pm12
postów: 511
2012-12-11 22:44:09

a)

lim $a_{n}$ = lim $\frac{n^{2}}{n^{2} + 2n + 3}$ = lim $\frac{1}{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}}$ = 1


heteroheroina
postów: 22
2012-12-11 22:52:59

możesz wyjaśnić skąd $n^2$ w liczniku?


pm12
postów: 511
2012-12-11 22:53:11

b)

lim $a_{n}$ = lim $(1+\frac{3}{n-2})^{2n-1}$ = lim $((1+\frac{3}{n-2})^{\frac{n-2}{3}})^{\frac{6n-3}{n-2}}$ = lim $e^{\frac{6n-3}{n-2}}$ = lim $e^{6 + \frac{9}{n-2}}$ = $e^{6}$


tumor
postów: 8085
2012-12-12 06:08:27

$ n^2$ jest sumą ciągu arytmetycznego w liczniku

$
1+3+5+...+2n-1=\frac{1+2n-1}{2}*n=\frac{2n}{2}*n=n^2$


heteroheroina
postów: 22
2012-12-12 17:49:55

mogę prosić o wyprowadzenie jak z tej postaci : $\lim e^\frac{6n-3}{n-2}$ dojść do ----->$\lim e^6+^\frac{9}{n-2}$ a potem do tego $e^6$



tumor
postów: 8085
2012-12-12 17:58:08

$ \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$

Identyczna musi być granica

$ \lim_{x \to \infty}(1+\frac{3}{n-2})^{\frac{n-2}{3}}=e$

Oddzielnie liczymy

$\lim_{x \to \infty}\frac{6n-3}{n-2}=
\lim_{x \to \infty}\frac{n(6-\frac{3}{n})}{n(1-\frac{2}{n})}=
\lim_{x \to \infty}\frac{6-\frac{3}{n}}{1-\frac{2}{n}}=\frac{6}{1}=6$

Stąd wynik $e^6$.

Natomiast można było to liczyć także
$\lim_{x \to \infty}\frac{6n-3}{n-2}=
\lim_{x \to \infty}\frac{6n-12+9}{n-2}=
\lim_{x \to \infty}\frac{6n-12}{n-2}+\frac{9}{n-2}=
\lim_{x \to \infty}6+\frac{9}{n-2}=6$


heteroheroina
postów: 22
2012-12-12 18:06:37

teraz wszystko jasne

dzięki wielkie

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 117 drukuj