Algebra, zadanie nr 777

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
heteroheroina postów: 22	2012-12-11 23:10:40 Zbadaj zbieżność szeregu a) z kryterium porównawczego: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(3n+1)}$ b)z kryterium D'Alamberta: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2n} }{(2n)!}$ c) z kryterium Cauchy'ego: $\sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{n-1 }{3n+1})^n$ d) zbieżność bezwzględna i warunkowa: $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1 }{n(n+1)}$

tumor postów: 8070	2012-12-12 05:49:46 a) $\frac{1}{n(3n+1)}\le \frac{1}{n^2}$ $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ zbieżny, czyli $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(3n+1)}$ zbieżny

tumor postów: 8070	2012-12-12 06:01:08 b) $\lim_{n \to \infty}\frac{\|a_{n+1}\|}{\|a_n\|}= \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(2(n+1))!} \frac{(2n)!}{n^{2n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2n}(n+1)^{2}}{(2n)!(2n+1)(2n+2)} \frac{(2n)!}{n^{2n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)} \frac{(n+1)^{2n}}{n^{2n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)}\left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}=\frac{e^2}{4}>1$ rozbieżny

tumor postów: 8070	2012-12-12 06:03:54 c) $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{n-1}{3n+1})^n}= \lim_{n \to \infty}\frac{n-1}{3n+1}=\frac{1}{3}<1$ zbieżny

tumor postów: 8070	2012-12-12 06:06:40 d) $\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2} $ stąd z kryterium porównawczego $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ zbieżny Skoro $\frac{1}{n(n+1)}=\|(-1)^n\frac{1}{n(n+1)}\|$ to $ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n(n+1)}$ zbieżny bezwzględnie (czyli już warunkowej zbieżności dociekać nie trzeba)

heteroheroina postów: 22	2012-12-12 20:15:09 pytanie do podpunktu B jak rozpisano (2(n+1))! aby wyszło (2n)! (2n+1)(2n+2)

tumor postów: 8070	2012-12-12 21:35:43 $(2(n+1))!=(2n+2)!=123...(2n-1)2n(2n+1)*(2n+2)=(2n)!(2n+1)(2n+2)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj