Analiza matematyczna, zadanie nr 790

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jacknoise postów: 14	2012-12-16 15:30:10 Zbadaj, czy szereg jest rozbieżny, zbieżny warunkowo czy bezwzględnie (za pomocą warunku koniecznego, kryterium porównawczego, Leibnitza, d'Alemberta, Cauchy'ego, twierdzeń o zbieżności warunkowej i bezwzględnej). a) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin3^{n}}{n^{2}+5}$ b) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!cos n }{n^{n+1}}$ c) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n cos \frac{1}{n}}$ d) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+1}{n^{3}+1}$ e) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\frac{n-1}{n+2})^{n^{2}}$ f) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{ln(n+1)}{n!}$ g) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-2}\frac{(n!)^{2}}{n^{n}}$

tumor postów: 8070	2012-12-16 18:38:40 a) $\left\| \frac{sin3^n}{n^2+5}\right\| \le \frac{1}{n^2}$ z kryterium porównawczego zbieżność bezwzględna

tumor postów: 8070	2012-12-16 18:48:00 b) Z d'Alemberta szereg $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ jest zbieżny (bezwzględnie), bo $\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+1}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{1}{n^n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac{1}{e}<1$ Z kryterium porównawczego, skoro $\left\| \frac{n!cosn}{n^{n+1}} \right\| \le \frac{n!}{n^n} $to szereg $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!cosn}{n^{n+1}}$ zbieżny bezwzględnie

abcdefgh postów: 1255	2012-12-16 18:57:43 d) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+1}{n^{3}+1}$ $\frac{n+1}{n^3+1}$ sprawdzić czy jest monotoniczny $(n+1)^3>n^3$ $(n+1)^3+1>n^3+1$ $\frac{n+2}{(n+1)^3+1}<\frac{n+1}{n^3+1}$ bn jest monotoniczne $lim\frac{n+1}{n^3+1}=0$ zbieżny

tumor postów: 8070	2012-12-16 18:59:30 c) $0<cos\frac{1}{n}<1$ na $n \in N_+$ Zatem $\frac{1}{n}\le \frac{1}{ncos\frac{1}{n}}$ Czyli szereg nie jest zbieżny (kryterium porównawcze)

tumor postów: 8070	2012-12-16 19:03:40 d) Do rozwiązania zaproponowanego przez abcdefgh dodam jeszcze coś od siebie. Stosując kryterium Leibniza dostajemy zbieżność ale bez informacji, czy szereg jest zbieżny względnie czy bezwzględnie. Można zauważyć, że $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$ Porównując ciąg $\frac{n+1}{n^3+1}=\frac{1}{n^2-n+1}$ z ciągiem $\frac{1}{n^2}$ otrzymamy zbieżność bezwzględną. Jest absolutnie nieistotne, że tam stoi $-1$. :)

tumor postów: 8070	2012-12-16 19:13:56 $\|(-1)^n(\frac{n-1}{n+2})^{n^2}\|= (\frac{n-1}{n+2})^{n^2}$ Sprawdzimy z kryterium Cauchy'ego $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{n-1}{n+2})^{n^2}}= \lim_{n \to \infty}(\frac{n-1}{n+2})^{n}= \lim_{n \to \infty}(\frac{n+2-3}{n+2})^{n}= \lim_{n \to \infty}(1-\frac{3}{n+2})^{n}= $ $ \lim_{n \to \infty}(1-\frac{3}{n+2})^{n \frac{3}{n+2}\frac{n+2}{3}}= \lim_{n \to \infty}\left((1-\frac{3}{n+2})^{\frac{n+2}{3}}\right)^{n \frac{3}{n+2}}=\frac{1}{e^3}<1$ Zbieżny bezwzględnie z kryterium Cauchy'ego. Wiadomość była modyfikowana 2012-12-16 19:14:41 przez tumor

tumor postów: 8070	2012-12-16 19:28:17 $ ln(n+1)\le n$ $\frac{ ln(n+1)}{n!}\le \frac{ n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}$ Zauważmy, że $(n-1)(n-2)(n-3)>n^2 $dla odpowiednio dużych n, stąd zbieżność bezwzględna (kryterium porównawcze)

tumor postów: 8070	2012-12-16 19:50:43 $ a_n=\frac{n!n!}{n^n}$ $ a_{n+1}=\frac{n!n!(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}}$ $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{ a_n}= \lim_{n \to \infty}\frac{ \frac{n!n!(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} }{ \frac{n!n!}{n^n} }= \lim_{n \to \infty}\frac{ \frac{1}{(n+1)^{n-1}} }{ \frac{1}{n^n} }= \lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{(n+1)^{n-1}}=\infty $ Można powiedzieć, że d'Alembert daje rozbieżność, ale widzimy też, że taka granica przeczy warunkowi koniecznemu, szereg zbieżny nie jest. Wcale. Leibniza nie ma co sprawdzać. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj