Analiza matematyczna, zadanie nr 790
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jacknoise post贸w: 14 |  2012-12-16 15:30:10Zbadaj, czy szereg jest rozbie偶ny, zbie偶ny warunkowo czy bezwzgl臋dnie (za pomoc膮 warunku koniecznego, kryterium por贸wnawczego, Leibnitza, d\'Alemberta, Cauchy\'ego, twierdze艅 o zbie偶no艣ci warunkowej i bezwzgl臋dnej). a) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin3^{n}}{n^{2}+5}$ b) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!cos n }{n^{n+1}}$ c) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n cos \frac{1}{n}}$ d) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+1}{n^{3}+1}$ e) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\frac{n-1}{n+2})^{n^{2}}$ f) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{ln(n+1)}{n!}$ g) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-2}\frac{(n!)^{2}}{n^{n}}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-16 18:38:40 a) $\left| \frac{sin3^n}{n^2+5}\right| \le \frac{1}{n^2}$ z kryterium por贸wnawczego zbie偶no艣膰 bezwzgl臋dna |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-16 18:48:00 b) Z d\'Alemberta szereg $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ jest zbie偶ny (bezwzgl臋dnie), bo $\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+1}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{1}{n^n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac{1}{e}<1$ Z kryterium por贸wnawczego, skoro $\left| \frac{n!cosn}{n^{n+1}} \right| \le \frac{n!}{n^n} $to szereg $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!cosn}{n^{n+1}}$ zbie偶ny bezwzgl臋dnie |
abcdefgh post贸w: 1255 | 2012-12-16 18:57:43 d) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+1}{n^{3}+1}$ $\frac{n+1}{n^3+1}$ sprawdzi膰 czy jest monotoniczny $(n+1)^3>n^3$ $(n+1)^3+1>n^3+1$ $\frac{n+2}{(n+1)^3+1}<\frac{n+1}{n^3+1}$ bn jest monotoniczne $lim\frac{n+1}{n^3+1}=0$ zbie偶ny |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-16 18:59:30 c) $0<cos\frac{1}{n}<1$ na $n \in N_+$ Zatem $\frac{1}{n}\le \frac{1}{ncos\frac{1}{n}}$ Czyli szereg nie jest zbie偶ny (kryterium por贸wnawcze) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-16 19:03:40 d) Do rozwi膮zania zaproponowanego przez abcdefgh dodam jeszcze co艣 od siebie. Stosuj膮c kryterium Leibniza dostajemy zbie偶no艣膰 ale bez informacji, czy szereg jest zbie偶ny wzgl臋dnie czy bezwzgl臋dnie. Mo偶na zauwa偶y膰, 偶e $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$ Por贸wnuj膮c ci膮g $\frac{n+1}{n^3+1}=\frac{1}{n^2-n+1}$ z ci膮giem $\frac{1}{n^2}$ otrzymamy zbie偶no艣膰 bezwzgl臋dn膮. Jest absolutnie nieistotne, 偶e tam stoi $-1$. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-16 19:13:56 $|(-1)^n(\frac{n-1}{n+2})^{n^2}|= (\frac{n-1}{n+2})^{n^2}$ Sprawdzimy z kryterium Cauchy\'ego $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{n-1}{n+2})^{n^2}}= \lim_{n \to \infty}(\frac{n-1}{n+2})^{n}= \lim_{n \to \infty}(\frac{n+2-3}{n+2})^{n}= \lim_{n \to \infty}(1-\frac{3}{n+2})^{n}= $ $ \lim_{n \to \infty}(1-\frac{3}{n+2})^{n \frac{3}{n+2}\frac{n+2}{3}}= \lim_{n \to \infty}\left((1-\frac{3}{n+2})^{\frac{n+2}{3}}\right)^{n \frac{3}{n+2}}=\frac{1}{e^3}<1$ Zbie偶ny bezwzgl臋dnie z kryterium Cauchy\'ego. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-12-16 19:14:41 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-16 19:28:17 $ ln(n+1)\le n$ $\frac{ ln(n+1)}{n!}\le \frac{ n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}$ Zauwa偶my, 偶e $(n-1)(n-2)(n-3)>n^2 $dla odpowiednio du偶ych n, st膮d zbie偶no艣膰 bezwzgl臋dna (kryterium por贸wnawcze) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-16 19:50:43 $ a_n=\frac{n!*n!}{n^n}$ $ a_{n+1}=\frac{n!*n!*(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}}$ $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{ a_n}= \lim_{n \to \infty}\frac{ \frac{n!*n!*(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} }{ \frac{n!*n!}{n^n} }= \lim_{n \to \infty}\frac{ \frac{1}{(n+1)^{n-1}} }{ \frac{1}{n^n} }= \lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{(n+1)^{n-1}}=\infty $ Mo偶na powiedzie膰, 偶e d\'Alembert daje rozbie偶no艣膰, ale widzimy te偶, 偶e taka granica przeczy warunkowi koniecznemu, szereg zbie偶ny nie jest. Wcale. Leibniza nie ma co sprawdza膰. :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj