logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 793

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2012-12-16 17:09:12

R-pierścień, ab oraz ba odwracalne
czy z tego wynika że
a,b odwracalne???

ma ktoś pomysł?
z góry dzięki


tumor
postów: 8070
2012-12-16 18:12:12

Ale pomysł tu trzeba mieć do bólu standardowy. :)

Masz element $a$, będzie odwracalny, jeśli znajdziesz dla niego element odwrotny, czyli jeśli tak go przez coś przemnożysz, że dostaniesz $1$.

Można tak:
$a*(b*(ab)^{-1})=$
(oczywiście z polecenia wynika, że $(ab)^{-1}$ istnieje)
$=(a*b)(ab)^{-1}=1$

$b*(a*(ba)^{-1})=(ba)(ba)^{-1}=1$

Zatem
$a^{-1}=b(ab)^{-1}$
$b^{-1}=a(ba)^{-1}$
$a$ i $b$ są odwracalne.


-------------

Przy tym może trzeba tu jeszcze jedną uwagę napisać. Pierścień wcale przemienny być nie musi.
Tu pokazałem tak naprawdę tylko tyle, że dla $a$ istnieje $x$ taki, że $ax=1$. Czy także $xa=1?$

Nietrudno stosując BARDZO podobną metodę znaleźć element $y$, taki, że $ya=1$ (właściwie mówimy o elementach prawo- i lewostronnie odwrotnych). Pozostaje wykazać, że $x=y$.
$x=1*x=ya*x=y*ax=y*1=y
$
(Przy tym skorzystaliśmy tu z łączności działania, jak wiemy w pierścieniach mnożenie jest łączne).
Dlatego w rozwiązaniu pozwoliłem sobie znaleźć jedynie elementy odwrotne jednostronnie i nie dowodzić ręcznie, że są też odwrotne przy mnożeniu w drugą stronę. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj