Logika, zadanie nr 795
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
a1a1a1 post贸w: 28 |  2012-12-17 12:00:581) Funcja f: $R^{2}$$\rightarrow$$R^{2}$ jest okre艣lona wzorem : a) f(x)=<x+1,2x+1> dla x$\in$R b) f(x,y)=<x+y,xy> dla <x,y>$\in$$R^{2}$ c)f(x)=E(x) d)f(x)= $\sqrt{x+1}$ dla x$\ge$-1 oraz 2x dla x < -1 e) f(x) = log|x| dla x$\neq$0 oraz 0 dla x=1 f)f(x) = $\frac{2x+1}{x-1}$ dla x$\neq$1 oraz 0 dla x=1 g)f(x,y)=<x+y,x-y> dla x,y$\in$R. w a)-f) spr czy jest ona injekcj膮, surjekcj膮, w g) spr czy jest ona bijekcj膮 zbioru $R^{2}$ na zbi贸r $R^{2}$, poda膰 wz贸r funkcji odwrotnej $f^{-1}$, wyznaczy膰 obraz prostej l o r贸wnaniu y=x+1 poprzez funkcj臋 f. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-17 13:45:41 W poleceniu napisane jest, 偶e $f:R^2\to R^2$, ale w podpunktach i dziedzina i przeciwdziedzina s膮 r贸偶ne, dlatego ten fragment polecenia zignoruj臋, a suriektywno艣膰 b臋d臋 sprawdza艂 dla przeciwdziedziny $R$ lub $R^2$ zale偶nie od kontekstu. :) a) $f(x)=<x+1,2x+1>$ dla $x\in R$ Je艣li $x_1 \neq x_2$, to oczywi艣cie $x_1+1 \neq x_2+1$, czyli jest r贸偶nowarto艣ciowa. Suriekcj膮 ta funkcja nie jest, gdy偶 nie istnieje $x$ takie, 偶e $f(x)=<1;9832489>$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-12-17 14:02:30 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-17 13:51:25 b) $f(x,y)=<x+y,xy>$ dla $<x,y> \in R^2$ Zauwa偶my, 偶e $f(0,1)=f(1,0)$, czyli funkcja nie jest r贸偶nowarto艣ciowa. Funkcja nie jest te偶 suriekcj膮, bo nie istniej膮 $x,y$ dla kt贸rych $f(x,y)=<0;1>$ Bowiem $x+y=0$ oznacza, 偶e $x=-y$, wtedy $xy=-x^2<1$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-17 14:01:03 c) $f(x)=E(x)$ Tu nie jestem pewien, co to $E(x)$, prosz臋 mi napisa膰. d) $f(x)= \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1} \mbox{ dla } x\ge -1 \\ 2x \mbox{ dla } x < -1 \end{matrix}\right. $ Zauwa偶my, 偶e dla $x \ge -1$ mamy $f(x) \ge 0$, a dla $x<-1$ mamy $f(x)<-2$. Nie istnieje zatem $x$ taki, 偶e $f(x)=-1$, nie jest suriekcj膮. Jest iniekcj膮, bo je艣li $x_1 > x_2$, to $f(x_1)>f(x_2)$ (mo偶e lepiej to wida膰 w rozbiciu na przypadki). |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-17 14:08:36 e) $f(x) = log|x|$ dla $x\neq 0$ oraz $0$ dla $x=1$ Podejrzewam liter贸wk臋 w poleceniu. Mo偶e $f(x) = log|x|$ dla $x\neq 0$ oraz $0$ dla $x=0$ ? Jednak taka zmiana jedynie wp艂ywa na dziedzin臋. W obu przypadkach $f(-7)=f(7) $czyli nie jest r贸偶nowarto艣ciowa, natomiast $g(x) = log x$, dla $x\in R_+$ jest suriekcj膮, wi臋c tak偶e $f$ jest suriekcj膮 (bo na zbiorze $R_+$ pokrywa si臋 z funkcj膮 $g$). Suriektywno艣膰 $g$: Niech $y\in R$, $ log x=y$ $x=10^y $ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-17 14:14:58 f) $f(x) =\frac{ 2x+1}{x-1}$ dla $x\neq 1$ oraz $0$ dla $x=1$ Funkcja homograficzna by艂aby r贸偶nowarto艣ciowa, ale tu dodano jeden punkt, wi臋c t臋 w艂asno艣膰 traci. $f(\frac{-1}{2})=0=f(1)$ Funkcje homograficzne nie s膮 suriekcjami na $R$ (bo trzeba wyrzuci膰 jeden punkt). Nie istnieje $x$ taki, 偶e $f(x)=2$ Bowiem $2=\frac{ 2x+1}{x-1}$ $2(x-1)=2x+1$ $-2=1$ sprzeczno艣膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-17 14:23:59 g) $f(x,y)=<x+y,x-y>$ Niech $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$, to znaczy $\left\{\begin{matrix} x_1+y_1=x_2+y_2\\ x_1-y_1=x_2-y_2 \end{matrix}\right.$ Dodaj膮c stronami mamy $2x_1=2x_2$, czyli $x_1=x_2$, a odejmuj膮c stronami mamy $2y_1=2y_2$, czyli $y_1=y_2$, zatem funkcja jest r贸偶nowarto艣ciowa. Ustalmy teraz $a,b\in R$. Uk艂ad $x+y=a$ $x-y=b$ ma rozwi膮zanie (Twierdzenie Kroneckera-Capellego), zatem funkcja jest suriekcj膮. Jest iniekcj膮 i suriekcj膮, to jest bijekcj膮. Funkcj臋 odwrotn膮 dostaniemy wyliczaj膮c x i y z naszego uk艂adu $x+y=a$ $x-y=b$ St膮d $x=\frac{a+b}{2}$ $y=\frac{a-b}{2}$ $f^{-1}(x,y)=<\frac{x+y}{2},y=\frac{x-y}{2}>$ $f(x,x+1)=<2x+1, -1>$ obrazem jest prosta $y=-1$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-12-17 14:31:49 przez tumor |
a1a1a1 post贸w: 28 | 2012-12-17 18:47:02 E(x) to cecha x |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-17 18:53:22 c) $f(x)=E(x)$ Nie jest r贸偶nowarto艣ciowa, bo $f(3,14159)=3=f(3,14158)$ Nie jest na R, bo przyjmuje tylko warto艣ci ca艂kowite. |
a1a1a1 post贸w: 28 | 2012-12-17 19:40:41 nie by艂o liter贸wki |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj