Analiza matematyczna, zadanie nr 799

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mistergol postów: 21	2012-12-17 17:46:06 Znaleźć punkty , w których następujące funkcje nie posiadają pochodnych : a) y=\|x+2\| b) y=\|x\|+\|x+1\| Pomoże ktoś, w jaki sposób to w ogóle policzyć ?

tumor postów: 8070	2012-12-17 18:33:05 a) $x=-2$ Bo granica prawostronna ilorazu różnicowego jest równa $1$, a lewostronna $-1$. b) $x=0$, $x=-1$. ---- Jak to robić: Wiesz, jak wygląda wykres $\|x\|$. Ma kant. :) Kanty oznaczają nieróżniczkowalność. $\|x\|=\left\{\begin{matrix} x \mbox{ dla } x\ge 0\\ -x \mbox{ dla }x<0 \end{matrix}\right.$ $x$ i $-x$ są różniczkowalne. Problem właśnie na ich styku. $\lim_{x \to 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0+}\frac{x}{x}=1$ $\lim_{x \to 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0-}\frac{-x}{x}=-1$ Podobnie zawsze tam, gdzie wartość bezwzględna powoduje kanty sprawdza się granice jednostronne ilorazu różnicowego. Jeśli są różne, to nie istnieje pochodna.

mistergol postów: 21	2012-12-17 19:46:26 Czyli, można to interpretować w sposób taki, że jest to poniekąd po prostu rozwiązanie zwykłej równości, z opuszczaniem wartości bezwzględnej ? Hmmm, jeszcze tylko jedna sprawa, nie za bardzo wiem, jak została policzona ta granica przy x dążącym do 0, zarówno lewostronna jak i prawostronna... Dlaczego tam jest f(x) - f(0) i później dzielone to przez x-0... :)

tumor postów: 8070	2012-12-17 19:53:45 Ekhem. Pochodna. Definicja. Granica ilorazu różnicowego. :) $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ :) Natomiast jeśli granice jednostronne są różne, to granica ta nie istnieje. Równoważnie można było zapisać $\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tu by się liczyło granice jednostronne dla $h-$ i $h+$. Coś już musisz umieć. :) Rozmawiamy o różniczkowalności, która wymaga jakiejś elementarnej wiedzy o granicach funkcji w punkcie. ;) W przykładzie wyżej, jeśli liczyliśmy granicę jednostronną $0+$ (czyli dla $x$ większych od $0$), to zamiast $f(x) $napisałem $x$, bo dla takich $x$ mamy $\|x\|=x$. Dla granicy lewostronnej $0-$ (co znaczy, że $x$ są mniejsze od $0$) mamy $f(x)=\|x\|=-x$.

mistergol postów: 21	2012-12-17 19:57:15 Ehh bo wiesz, ćwiczenia i wykłady mamy z innymi osobami. No i wykład jest strasznie ciężko zrozumieć u nas, poczytam więcej w internecie i jakoś nadrobię. Pozdrawiam Cię i wielkie dzięki za pomoc! :)

mistergol postów: 21	2012-12-18 14:40:40 A sorki, jeszcze ten drugi przykład, jakbyś mógł wyjaśnić skąd wyszedł x=0 i x=-1 ...

tumor postów: 8070	2012-12-18 15:13:54 A gdzie są kanty? :) Mamy $\|x\|+\|x+1\|$ Jeśli $x\ge 0$, to będzie $f(x)=2x+1$ jeśli $0>x\ge -1$ to będzie $f(x)=1$ jeśli wreszcie $-1>x$ będzie $f(x)=-2x-1$ Trzy funkcje liniowe, które się właśnie w $x=0$ i $x=-1$ sklejają tworząc kanty, czyli miejsca, gdzie nie jest różniczkowalna. Należy zatem policzyć granice lewo- i prawostronne ilorazu różnicowego w $x=0$ i w $x=-1$, a skoro wyjdą różne, oznacza to nieróżniczkowalność. ;)

mistergol postów: 21	2012-12-18 16:32:26 No ok, ale nie czaję jednego, w drugim przykładzie wyszło nam, że granicę ilorazu różnicowego są w 0 i -1, i to oznacza właśnie, że w tych punktach nie ma pochodnej. A już w pierwszym przykładzie te punkty to -1 i 1, a punkt w którym nie ma pochodnych to -2. I nie wiem skąd ta różnica między przykładem pierwszym a drugim.

tumor postów: 8070	2012-12-18 16:55:52 Nie wygląda na to, żebyś czytał ze zrozumieniem. :) W przykładzie a) z zadania w punkcie x=-2 funkcja nie jest różniczkowalna, bo granice jednostronne ilorazu różnicowego, których nie policzyłeś, wynoszą -1 i 1, czyli równe nie są. W przykładzie b) z zadania w punkcie x=0 funkcja nie jest różniczkowalna, bo granice jednostronne ilorazu różnicowego, których nie policzyłeś, wynoszą 2 i 0, są różne. W punkcie x=-1 funkcja nie jest różniczkowalna, bo granice jednostronne ilorazu różnicowego, których nie policzyłeś, wynoszą 0 i -2, są różne. W przykładzie "jak to robić" podałem przykład funkcji \|x\|. Nie jest różniczkowalna w x=0, bo granice jednostronne (które policzyłem) wynoszą -1 i 1, czyli nie są równe. Jednakże nie wiesz zbyt wiele o granicach jednostronnych, a zaczynam mieć wrażenie, że w ogóle nie bardzo wiesz, gdzie jesteśmy i co tu robimy. Wiesz, co to różniczkowalność w punkcie? Iloraz różnicowy? Granica funkcji w punkcie? Granice jednostronne? Wartość bezwzględna? Jeśli na dowolne z pytań odpowiadasz "nie", to zacznij od dowiedzenia się. Jeśli na wszystkie "tak", to naprawdę nie wiem, gdzie jest problem. To nie jest magia, ale prosta wiedza przekazywana krok po kroku. Na studiach. Wykłady czytamy, a nie tylko kserujemy od koleżanki. A jeśli jeszcze moglibyśmy ich posłuchać, to by było świetnie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj