Analiza funkcjonalna, zadanie nr 802
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sympatia17 post贸w: 42 |  2012-12-17 19:49:16Wykaza膰, 偶e funkcja f z przestrzeni topologicznej $<X, \tau_X>$ w przestrze艅 topologiczn膮 $<Y, \tau_Y>$ jest ci膮g艂a wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz$f^{-1}(B)$ ka偶dego zbioru $B \subset Y$ domkni臋tego w Y jest domkni臋ty w X. Umiem udowodni膰 to twierdzenie dla zbior贸w otwartych, ale dla domkni臋tych nie mam pomys艂u. Prosz臋 o pomoc. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-17 20:02:49 !!!!!!!!!!! Takie, TAKIE mam oczy, 偶e kto艣 umie co艣 zrobi膰 dla otwartych, a dla domkni臋tych \"nie ma pomys艂u\". A jaki偶 tu trzeba mie膰 pomys艂? Je艣li $A$ jest zbiorem otwartym w $Y$, to $f^{-1}(A)$ jest otwarty w $X$. Umiesz to pokaza膰. Zatem je艣li $B$ jest domkni臋ty w $Y$, to $Y\backslash B$ jest otwarty w $Y$, wtedy $f^{-1}(Y\backslash B)$ jest otwarty w $X$, wtedy $X \backslash f^{-1}(Y\backslash B)$ jest domkni臋ty w $X$. Ale pomy艣l, co to jest przeciwobraz. Je艣li $X$ jest dziedzin膮 funkcji, a $Y$ podzielimy na dwa roz艂膮czne zbiory $B$ i $Y\backslash B$, to przeciwobrazy tych zbior贸w s膮 roz艂膮czne i sumuj膮 si臋 do $X$. Zatem $X \backslash f^{-1}(Y\backslash B)=f^{-1}(B)$ A pokazali艣my, 偶e ten zbi贸r jest domkni臋ty. I dok艂adnie analogicznie w drug膮 stron臋, je艣li zachodzi taka w艂asno艣膰 dla zbior贸w domkni臋tych, to zachodzi dla otwartych (zatem $f$ jest ci膮g艂a). |
sympatia17 post贸w: 42 | 2012-12-17 22:26:57 C贸偶, jednak przesadzi艂am ze stwierdzeniem, 偶e potrafi臋 udowodni膰 to twierdzenie dla zbior贸w otwartych.. Ale dzi臋kuj臋 bardzo za pomoc :) Jak to udowodni膰 bez faktu o zbiorach otwartych? |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-18 07:59:29 Identycznie jak dowodzi si臋 faktu o zbiorach otwartych. :) Jest troch臋 warunk贸w r贸wnowa偶nych ci膮g艂o艣ci w przestrzeniach topologicznych. Jeden przyjmuje si臋 za definicj臋 ci膮g艂o艣ci, a r贸wnowa偶no艣膰 pozosta艂ych si臋 dowodzi. Nie mam pod r臋k膮 wr贸偶ki, by mi powiedzia艂a, jak膮 masz definicj臋 ci膮g艂o艣ci. ;) Dlatego gdy napisa艂a艣 o fakcie ze zbiorami otwartymi, w prosty spos贸b da艂o si臋 pokaza膰 r贸wnowa偶no艣膰 faktu ze zbiorami domkni臋tymi. A jak brzmi definicja ci膮g艂o艣ci jakiej u偶ywasz? |
sympatia17 post贸w: 42 | 2012-12-19 10:57:14 Funkcja $f: X \rightarrow Y$, gdzie $<X, \tau_X>$, $<Y, \tau_Y>$ s膮 przestrzeniami topologicznymi jest ci膮g艂a na $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz $f^{-1}(B)$ ka偶dego zbioru $B \in \tau_Y$ nale偶y do $\tau_X$. Generalnie wszystkie definicje, twierdzenia i wnioski kt贸rych u偶ywamy opieraj膮 si臋 na ksi膮偶ce \"Wst臋p do analizy funkcjonalnej\" Juliana Musielaka. Jednak mamy bardzo ma艂o godzin i w zasadzie wszystko musz臋 nadrabia膰 sama w domu. Ten przedmiot nie jest trudny, ale potrzeba pomys艂贸w i wyobra藕ni, a mnie tego brakuje. Dzi臋kuj臋 za pomoc. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-19 13:57:07 Dodam jeszcze, 偶e przyda si臋 zdolno艣膰 czytania tekstu matematycznego. :) Masz zbi贸r $X$. $P(X)$ to zbi贸r pot臋gowy zbioru $X$, czyli rodzina wszystkich podzbior贸w zbioru $X$. A topologia na zbiorze $X$ to podzbi贸r zbioru $P(X)$ o pewnych w艂asno艣ciach. :) Topologi臋 oznaczasz $\tau_X$. Elementy topologii nazywasz zbiorami otwartymi. Natomiast takie podzbiory $A$ zbioru $X$, dla kt贸rych $X\backslash A$ jest otwarty (czyli nale偶y do $\tau_X$) nazywasz domkni臋tymi. :) W艂asno艣ci zbior贸w otwartych przek艂adaj膮 si臋 na w pewien spos贸b analogiczne w艂asno艣ci zbior贸w domkni臋tych. Na przyk艂ad suma dowolnie wielu zbior贸w otwartych jest zbiorem otwartym, a przekr贸j dowolnie wielu zbior贸w domkni臋tych jest zbiorem domkni臋tym. Teraz robimy zadanie z ci膮g艂o艣ci膮. Je艣li wiemy, jak dzia艂aj膮 przeciwobrazy funkcji (warto po膰wiczy膰, powyobra偶a膰 sobie), to bardzo 艂atwo pokaza膰 r贸wnowa偶no艣膰 dw贸ch fakt贸w: a) przeciwobrazy zbior贸w otwartych s膮 otwarte b) przeciwobrazy zbior贸w domkni臋tych s膮 domkni臋te. Nie dla ka偶dej funkcji oczywi艣cie zachodz膮 te warunki, ale je艣li zachodzi $a)$, to zachodzi te偶 $b)$, a je艣li zachodzi $b) $ to zachodzi te偶 $a)$. Napisa艂a艣 wcze艣niej, 偶e umiesz dla funkcji ci膮g艂ych pokaza膰 $a)$. Potem, 偶e nie umiesz. Teraz zobacz, 偶e warunek $a)$ to w艂a艣nie DEFINICJA ci膮g艂o艣ci, jakiej u偶ywasz. Czyli w艂a艣nie tak膮 funkcj臋 nazywasz ci膮g艂膮, w kt贸rej przeciwobrazy zbior贸w otwartych s膮 otwarte. Natomiast moja pierwsza odpowied藕 jest w艂a艣nie rozwi膮zaniem zadania, czyli przej艣ciem z warunku $a)$ na warunek $b)$ i wskaz贸wk膮, 偶e z $b)$ na $a)$ przechodzi si臋 w spos贸b zupe艂nie analogiczny. M贸g艂bym to co do literki napisa膰, ale wi臋cej z tego wyniesiesz, je艣li spr贸bujesz prze艣ledzi膰 tok rozumowania, zrobi膰 samodzielnie $b) \Rightarrow a)$, a zawsze tu mo偶esz swoje rozumowanie przedstawi膰 do sprawdzenia. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj