Analiza funkcjonalna, zadanie nr 802

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sympatia17 postów: 42	2012-12-17 19:49:16 Wykazać, że funkcja f z przestrzeni topologicznej $<X, \tau_X>$ w przestrzeń topologiczną $<Y, \tau_Y>$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz$f^{-1}(B)$ każdego zbioru $B \subset Y$ domkniętego w Y jest domknięty w X. Umiem udowodnić to twierdzenie dla zbiorów otwartych, ale dla domkniętych nie mam pomysłu. Proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2012-12-17 20:02:49 !!!!!!!!!!! Takie, TAKIE mam oczy, że ktoś umie coś zrobić dla otwartych, a dla domkniętych "nie ma pomysłu". A jakiż tu trzeba mieć pomysł? Jeśli $A$ jest zbiorem otwartym w $Y$, to $f^{-1}(A)$ jest otwarty w $X$. Umiesz to pokazać. Zatem jeśli $B$ jest domknięty w $Y$, to $Y\backslash B$ jest otwarty w $Y$, wtedy $f^{-1}(Y\backslash B)$ jest otwarty w $X$, wtedy $X \backslash f^{-1}(Y\backslash B)$ jest domknięty w $X$. Ale pomyśl, co to jest przeciwobraz. Jeśli $X$ jest dziedziną funkcji, a $Y$ podzielimy na dwa rozłączne zbiory $B$ i $Y\backslash B$, to przeciwobrazy tych zbiorów są rozłączne i sumują się do $X$. Zatem $X \backslash f^{-1}(Y\backslash B)=f^{-1}(B)$ A pokazaliśmy, że ten zbiór jest domknięty. I dokładnie analogicznie w drugą stronę, jeśli zachodzi taka własność dla zbiorów domkniętych, to zachodzi dla otwartych (zatem $f$ jest ciągła).

sympatia17 postów: 42	2012-12-17 22:26:57 Cóż, jednak przesadziłam ze stwierdzeniem, że potrafię udowodnić to twierdzenie dla zbiorów otwartych.. Ale dziękuję bardzo za pomoc :) Jak to udowodnić bez faktu o zbiorach otwartych?

tumor postów: 8070	2012-12-18 07:59:29 Identycznie jak dowodzi się faktu o zbiorach otwartych. :) Jest trochę warunków równoważnych ciągłości w przestrzeniach topologicznych. Jeden przyjmuje się za definicję ciągłości, a równoważność pozostałych się dowodzi. Nie mam pod ręką wróżki, by mi powiedziała, jaką masz definicję ciągłości. ;) Dlatego gdy napisałaś o fakcie ze zbiorami otwartymi, w prosty sposób dało się pokazać równoważność faktu ze zbiorami domkniętymi. A jak brzmi definicja ciągłości jakiej używasz?

sympatia17 postów: 42	2012-12-19 10:57:14 Funkcja $f: X \rightarrow Y$, gdzie $<X, \tau_X>$, $<Y, \tau_Y>$ są przestrzeniami topologicznymi jest ciągła na $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz $f^{-1}(B)$ każdego zbioru $B \in \tau_Y$ należy do $\tau_X$. Generalnie wszystkie definicje, twierdzenia i wnioski których używamy opierają się na książce "Wstęp do analizy funkcjonalnej" Juliana Musielaka. Jednak mamy bardzo mało godzin i w zasadzie wszystko muszę nadrabiać sama w domu. Ten przedmiot nie jest trudny, ale potrzeba pomysłów i wyobraźni, a mnie tego brakuje. Dziękuję za pomoc. :)

tumor postów: 8070	2012-12-19 13:57:07 Dodam jeszcze, że przyda się zdolność czytania tekstu matematycznego. :) Masz zbiór $X$. $P(X)$ to zbiór potęgowy zbioru $X$, czyli rodzina wszystkich podzbiorów zbioru $X$. A topologia na zbiorze $X$ to podzbiór zbioru $P(X)$ o pewnych własnościach. :) Topologię oznaczasz $\tau_X$. Elementy topologii nazywasz zbiorami otwartymi. Natomiast takie podzbiory $A$ zbioru $X$, dla których $X\backslash A$ jest otwarty (czyli należy do $\tau_X$) nazywasz domkniętymi. :) Własności zbiorów otwartych przekładają się na w pewien sposób analogiczne własności zbiorów domkniętych. Na przykład suma dowolnie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, a przekrój dowolnie wielu zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. Teraz robimy zadanie z ciągłością. Jeśli wiemy, jak działają przeciwobrazy funkcji (warto poćwiczyć, powyobrażać sobie), to bardzo łatwo pokazać równoważność dwóch faktów: a) przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte b) przeciwobrazy zbiorów domkniętych są domknięte. Nie dla każdej funkcji oczywiście zachodzą te warunki, ale jeśli zachodzi $a)$, to zachodzi też $b)$, a jeśli zachodzi $b) $ to zachodzi też $a)$. Napisałaś wcześniej, że umiesz dla funkcji ciągłych pokazać $a)$. Potem, że nie umiesz. Teraz zobacz, że warunek $a)$ to właśnie DEFINICJA ciągłości, jakiej używasz. Czyli właśnie taką funkcję nazywasz ciągłą, w której przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte. Natomiast moja pierwsza odpowiedź jest właśnie rozwiązaniem zadania, czyli przejściem z warunku $a)$ na warunek $b)$ i wskazówką, że z $b)$ na $a)$ przechodzi się w sposób zupełnie analogiczny. Mógłbym to co do literki napisać, ale więcej z tego wyniesiesz, jeśli spróbujesz prześledzić tok rozumowania, zrobić samodzielnie $b) \Rightarrow a)$, a zawsze tu możesz swoje rozumowanie przedstawić do sprawdzenia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj