logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 812

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

a1a1a1
postów: 28
2012-12-20 14:38:26

Obliczyć granice ciągów:
a) $a_{n}$=$\frac{1+4+7+...+(3n-2)}{n^2}$
b) $b_{n}$=1-2+3-4+...-2n/$\sqrt{n^2+1}$
c) $c_{n}$=${n+2 \choose n}$/$n^{2}$
d) $d_{n}$=$\frac{1}{n}$${n \choose 1}$+$\frac{1}{n^2}$${n \choose 2}$+$\frac{1}{n^3}$${n \choose 3}$
e) $e_{n}$= 4$\cdot$$3^{n+1}$ +2 $\cdot$$4^{n}$/5$\cdot$$2^{n}$+$4^{n+2}$
f) $f_{n}$= 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+...+$\frac{1}{2^n}$/(1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+...+$\frac{1}{3^n}$)
g) $g_{n}$=$\sqrt{n^2+n}$-$\sqrt{n^2-n}$
Proszę o rozwiązanie kilku przykładów tutaj (tych trudniejszych zwłaszcza żeby można było się dowiedzieć skąd co się wzięło).


irena
postów: 2636
2012-12-20 15:26:16

a)
W liczniku masz sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz to 1 i różnica 3.

$1+4+...+(3n-2)=\frac{1+3n-2}{2}\cdot n=\frac{n(3n-1)}{2}=\frac{3n^2-n}{2}$

$a_n=\frac{\frac{3n^2-n}{2}}{n^2}=\frac{3n^2-n}{2n^2}=\frac{n^2(3-\frac{1}{n})}{n^2\cdot2}=\frac{3-\frac{1}{n}}{2}\to \frac{3}{2}$


irena
postów: 2636
2012-12-20 15:30:00

b)
Licznik:
$1+3+5+...+(2n-1)-(2+4+6+...+2n)=\frac{1+2n-1}{2}\cdot n-\frac{2+2n}{2}\cdot n=$

$=n^2-n(n+1)=n^2-n^2-n=-n$

$b_n=\frac{-n}{\sqrt{n^2+1}}=-\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\to-1$


irena
postów: 2636
2012-12-20 15:33:40

${n+2\choose n}=\frac{(n+2)!}{n!\cdot2!}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{n^2+3n+2}{2}$

$c_n=\frac{n^2+3n+2}{2n^2}=\frac{n^2(1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2})}{n^2\cdot2}=\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{2}\to\frac{1}{2}$


irena
postów: 2636
2012-12-20 15:43:10

d)
${n\choose1}=n$

${n\choose2}=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n}{2}$

${n\choose3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}=\frac{n^3-3n^2+2n}{6}$

$d_n=\frac{n}{n}+\frac{n^2-n}{2n^2}+\frac{n^3-3n^2+2n}{6n^3}=$

$=1+\frac{1-\frac{1}{n}}{2}+\frac{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{6}\to1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$


${n\choose 1}=\frac{n!}{(n-1)!\cdot1!}=\frac{n}{1}=n$

${n\choose 2}=\frac{n!}{2!\cdot(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}$

${n\choose3}=\frac{n!}{(n-3)!\cdot3!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}$


irena
postów: 2636
2012-12-20 15:48:17

e)
$e_n=\frac{4\cdot3^{n+1}+2\cdot4^n}{5\cdot2^n+4^{n+2}}=\frac{12\cdot3^n+2\cdot4^n}{5\cdot2^n+16\cdot4^n}=$

$=\frac{4^n(12\cdot(\frac{3}{4})^n+2)}{4^n(5\cdot(\frac{2}{4})^n+16)}=\frac{12\cdot(\frac{3}{4})^n+2}{5\cdot(\frac{2}{4})^n+16}\to\frac{0+2}{0+16}=\frac{1}{8}$


irena
postów: 2636
2012-12-20 15:58:56

f)
Licznik to suma nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 1, a iloraz $q=\frac{1}{2}$

$a_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^n}\to\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

Mianownik- suma nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 1, a iloraz $q=\frac{1}{3}$

$b_n=1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^n}\to\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$

$f_n=\frac{a_n}{b_n}$

$\lim_{n\to\infty}f_n=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$


irena
postów: 2636
2012-12-20 16:03:17

g)
$g_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}=\frac{n^2+n-n^2+n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{2n}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}})}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}\to\frac{2}{1+1}=1$


a1a1a1
postów: 28
2012-12-21 00:11:37

Dziękuję bardzo

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj