logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza funkcjonalna, zadanie nr 821

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sympatia17
postów: 42
2012-12-27 17:02:17

Niech $\Omega$ będzie zwartą przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a $K$ zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Niech $C(\Omega)$ oznacza zbiór funkcji ciągłych określonych na $\Omega$ o wartościach w zbiorze $K$
$C(\Omega)=\left\{x:\Omega \rightarrow K; x - ciągła \right\}$
Wykazac, że $C(\Omega)$ z normą $||x||=\sup_{t \in \Omega} |x(t)|$ jest przestrzenią Banacha.


Wykazałam, że jest to norma.
Niech teraz $\left\{x_n\right\}$ będzie ciagiem z $C(\Omega)$ spełaniającym warunek Cauchy'ego:
$\forall_{\epsilon>0} \exists_{N_0 \in N} \forall_{n,m \in N} ||x_n-x_m||<\epsilon$
Należy wykazać, że ciąg $x_n \mapsto x_0 \in C(\Omega)$, tzn. że ciąg funkcji $\left\{x_n\right\}$ jest zbieżny do funkcji $x_0$, która jest ciągła.
Proszę o pomoc w udowodnieniu tej części zadania.


tumor
postów: 8070
2015-09-06 21:52:49

K jest zupełna, wobec czego dla $t\in \Omega x_n(t)$ ma granicę, skoro jest ciągiem Cauchy'ego, a jest nim, skoro $x_n$ z normą supremum jest ciągiem Cauchy'ego.

Należy jeszcze pokazać, że graniczna funkcja $x_0$ jest ciągła.
Ustalmy $\epsilon>0$ i dowolne $t\in \Omega$
Skoro $x_0$ jest granicą ciągu $x_n$, to istnieje $m\in N$ począwszy od którego $sup|x_n-x_0|<\frac{\epsilon}{3}$
i podobnie skoro $x_n$ ciągła, to istnieje U otoczenie punktu t dla którego dla $n>m$ jest $s\in U \Rightarrow |x_n(s)-x_0(s)|<\frac{\epsilon}{3}$
Wobec tego dla $s\in U$ mamy $|x_0(s)-x_0(t)|<\epsilon$, czyli $x_0$ ciągła w $t$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj