Analiza funkcjonalna, zadanie nr 821
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
sympatia17 postów: 42 | 2012-12-27 17:02:17 Niech $\Omega$ będzie zwartą przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a $K$ zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Niech $C(\Omega)$ oznacza zbiór funkcji ciągłych określonych na $\Omega$ o wartościach w zbiorze $K$ $C(\Omega)=\left\{x:\Omega \rightarrow K; x - ciągła \right\}$ Wykazac, że $C(\Omega)$ z normą $||x||=\sup_{t \in \Omega} |x(t)|$ jest przestrzenią Banacha. Wykazałam, że jest to norma. Niech teraz $\left\{x_n\right\}$ będzie ciagiem z $C(\Omega)$ spełaniającym warunek Cauchy'ego: $\forall_{\epsilon>0} \exists_{N_0 \in N} \forall_{n,m \in N} ||x_n-x_m||<\epsilon$ Należy wykazać, że ciąg $x_n \mapsto x_0 \in C(\Omega)$, tzn. że ciąg funkcji $\left\{x_n\right\}$ jest zbieżny do funkcji $x_0$, która jest ciągła. Proszę o pomoc w udowodnieniu tej części zadania. |
tumor postów: 8070 | 2015-09-06 21:52:49 K jest zupełna, wobec czego dla $t\in \Omega x_n(t)$ ma granicę, skoro jest ciągiem Cauchy'ego, a jest nim, skoro $x_n$ z normą supremum jest ciągiem Cauchy'ego. Należy jeszcze pokazać, że graniczna funkcja $x_0$ jest ciągła. Ustalmy $\epsilon>0$ i dowolne $t\in \Omega$ Skoro $x_0$ jest granicą ciągu $x_n$, to istnieje $m\in N$ począwszy od którego $sup|x_n-x_0|<\frac{\epsilon}{3}$ i podobnie skoro $x_n$ ciągła, to istnieje U otoczenie punktu t dla którego dla $n>m$ jest $s\in U \Rightarrow |x_n(s)-x_0(s)|<\frac{\epsilon}{3}$ Wobec tego dla $s\in U$ mamy $|x_0(s)-x_0(t)|<\epsilon$, czyli $x_0$ ciągła w $t$. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj