Algebra, zadanie nr 822

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2012-12-27 18:36:44 1) $\mathbb{R}[x]/ (x^{2}-1)\cong ?$ 2) $\mathbb{R}[x]/ (x^{2}+1)\cong ?$ wiem że trzeba tutaj skorzystać z tw o izomorfizmie dla pierścieni: trzeba znależć homomorfizm pierścieni f: R$\rightarrow$T.wtedy $ R /Ker f\cong Im f$ bardzo proszę o możliwie prostym językiem wytłumaczenie jak rozwiązuje się takie zadania. z góry dziękuję

mat12 postów: 221	2012-12-29 17:21:47 pomoże ktoś? to bardzo ważne zadania i zależy mi bardzo aby ktoś pomógł. za wszelką pomoc ogromnie dziękuję:)

tumor postów: 8070	2013-01-08 20:41:42 1) bierzemy homomorfizm $\phi(w(x))=(w(1),(w(-1))$ gdzie $w(x)\in R[x]$. $im \phi = R\times R$ (to chyba jasne? To znaczy nie mówię, że oczywistym było wpaść na taki właśnie homomorfizm, ale że jego obraz jest całym $R\times R$ powinno być jasne) $ker \phi = <x^2-1>$ Bowiem jeśli $w(x)\in ker \phi$, to $w(1)=w(-1)=0$, czyli $w(x)$ podzielny przez $x-1$ i podzielny przez $x+1$, czyli $w(x)$ podzielny przez $x^2-1$, czyli $w(x) \in <x^2-1>$ (i na odwrót :P) Oczywiście wypada jeszcze udowodnić, że tak zadana funkcja $\phi$ jest homomorfizmem pierścieni :) No i odpowiedź $...\cong R\times R$

tumor postów: 8070	2013-01-08 21:01:36 2) poza tym ja pamiętam o zadaniach i nie musisz się przypominać. Po prostu czasu nie mam. :) A teraz będziemy mieć homomorfizm $\phi R[x] \to C$ $\phi(w(x))=w(i)$ $im \phi = C$ (chyba oczywiste?) $ker \phi = <x^2+1>$ (rozpatrujemy wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, choć teraz traktujemy je jak wielomiany zmiennej zespolonej. Z wielomianów pierścienia $R[x]$ te i tylko te mają miejsce zerowe w $i$, które są podzielne przez $x^2+1$) Pozostawiam Ci sprawdzenie, że $\phi$ jest homomorfizmem pierścieni. Odpowiedź $ ...\cong C$ Wiadomość była modyfikowana 2013-01-08 21:03:09 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj