Algebra, zadanie nr 827
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2012-12-28 19:09:28Czy $\mathbb{Z}[X], \mathbb{R}[X]$ s膮 pier艣cieniami idea艂贸w g艂贸wnych? prosz臋 o pomoc.z g贸ry dzi臋ki |
mat12 post贸w: 221 | 2012-12-29 17:16:07 pomo偶e kto艣? bardzo prosz臋 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-05 08:53:23 Je艣li $K$ jest cia艂em, to $K[X]$ jest pier艣cieniem idea艂贸w g艂贸wnych. Gdzie艣 si臋 przewija takie twierdzenie. Zatem $R[X]$ jest pier艣cieniem idea艂贸w g艂贸wnych. Jak przebiega rozumowanie? Skoro $K$ jest cia艂em, to dla $p(x),q(x)\in K[X]$ istnieje $NWD$, to znaczy najwy偶szy stopniem wielomian $w(x)$ taki, 偶e dzieli i $p(x)$ i $q(x)$ i nale偶y on do idea艂u $I$. St膮d wynika, 偶e ka偶dy idea艂 $I$ jest g艂贸wny, bowiem jest r贸wny $<NWD\{a: a\in I\}>$, da si臋 znale藕膰 generator. By pokaza膰, 偶e $Z[X]$ nie jest (twierdzenie wy偶ej nie m贸wi CZY jest, ale nie jest) pier艣cieniem idea艂贸w g艂贸wnych, nale偶y znale藕膰 idea艂, kt贸ry nie jest g艂贸wny. Niech $I=<x,2>$. O ile w liczbach rzeczywistych $NWD(x,2(x))=1(x)$ nale偶a艂 do $I$, to ju偶 w ca艂kowitych wcale tak nie jest! Inaczej m贸wi膮c, istniej膮 $c_1, c_2\in R$ takie, 偶e $1(x)=c_1x+c_22(x)$, ale nie istniej膮 $c_1, c_2\in Z$ takie, 偶e $1(x)=c_1x+c_22(x)$. $(x,2)$ nie jest idea艂em g艂贸wnym w $Z[X]$. --- $1(x)$ czy $2(x)$ oznaczaj膮 wielomiany stale r贸wne $1$ lub $2$, napisa艂em je jak wielomiany 偶eby by艂o jasne, 偶e nie chodzi tu i wsp贸艂czynniki, ale w艂a艣nie wielomiany. Natomiast idea艂 generowany napisa艂em w nawiasach $<>$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj