Logika, zadanie nr 833
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
bububu post贸w: 3 |  2013-01-02 18:37:441) Relacja R jest okre艣lona w zbiorze Z nast臋puj膮co: a) aRb$\iff$|a|<|b| b) aRb$\iff$|a|$\le$|b| dla a,b$\in$Z. Zbada膰 czy relacja R jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, sp贸jna. Czy R jest relacj膮 cz臋艣ciowo porz膮dkouj膮c膮, liniowo porz膮dkuj膮c膮 zbi贸r Z ? c) xRy$\iff$$x^{2}$<$y^{2}$ d) xRy$\iff$$x^{2}$$\le$$y^{2}$ e) xRy$\iff$$x^{3}$<$y^{3}$ f) xRy$\iff$$x^{3}$$\le$$y^{3}$ dla x,y$\in$R. Czy R jest relacj膮 cz臋艣ciowo porz膮dkuj膮c膮, liniowo porz膮dkuj膮c膮 zbi贸r R ? 2) a) Udowodni膰, 偶e relacja podzielno艣ci | w zbiorze $N_{1}$ jest relacj膮 cz臋艣ciowego porz膮dku. Czy relacja podzielno艣ci | liniowo porz膮dkuje zbi贸r $N_{1}$ ? b) Czy relacja podzielno艣ci | w zbiorze Z jest relacj膮 cz臋艣ciowego porz膮dku ? 3) W zbiorze C liczb zespolonych relacja R okre艣lona jest nast臋puj膮co : ($a_{1}$ + $b_{1i}$]R($a_{2}$ + $b_{2i}$)$\iff$($a_{1}$=$a_{2}$ $\wedge$ $b_{1}$ $\le$ $b_{2}$) dla $a_{1}$ + $b_{1i}$, $a_{2}$ + $b_{2i}$ $\in$ C. Zbada膰, czy relacja R liniowo porz膮dkuje zbi贸r C. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-01-02 18:38:46 przez bububu |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-02 19:18:14 1) a) Nie jest zwrotna, jest przeciwzwrotna, gdy偶 dla ka偶dego $a\in Z$ nie jest prawd膮, 偶e $|a|<|a|$ Jest asymetryczna, to znaczy nie istniej膮 $a,b$ takie, 偶e $aRb$ i jednocze艣nie $bRa$. Skoro jest asymetryczna, to jest antysymetryczna. Jest przechodnia, oczywi艣cie je艣li $|a|<|b|$ i $|b|<|c|$, to $|a|<|c|$. Nie jest sp贸jna, liczby przeciwne s膮 niepor贸wnywalne, na przyk艂ad $-1\neq 1$ i $\sim(-1)R(1)$ i $\sim(1)R(-1)$ b) Jest zwrotna, bo dla ka偶dego $a\in Z$ mamy $|a|\le |a|$ Nie jest antysymetryczna, bo je艣li $aRb$ i $bRa$, to niekoniecznie $a=b$ (na przyk艂ad $a=1$, $b=-1$) Jest przechodnia, bo je艣li $|a|\le|b|$ i $|b|\le|c|$, to $|a|\le|c|$. Jest sp贸jna, bo dla ka偶dych dw贸ch liczb ca艂kowitych $a,b$ prawd膮 jest $aRb$ lub $bRa$. --- Pierwsza relacja nie jest zwrotna, nie jest wi臋c (s艂abym) porz膮dkiem cz臋艣ciowym. Jest przeciwzwrotna i przechodnia, jest wi臋c ostrym porz膮dkiem cz臋艣ciowym. Druga relacja nie jest antysymetryczna, zatem nie jest ani s艂abym ani ostrym porz膮dkiem. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-02 19:27:45 c) $xRy\iff x^2<y^2$ - nie jest zwrotna, jest przeciwzwrotna, gdy偶 dla ka偶dego rzeczywistego $a$ nieprawda, 偶e $a^2<a^2$ Zatem na pewno nie jest porz膮dkiem s艂abym. Mo偶e jest porz膮dkiem ostrym, sprawdzimy przechodnio艣膰. - jest przechodnia, je艣li $a^2<b^2$ i $b^2<c^2$, to oczywi艣cie $a^2<c^2$ Zatem $R$ jest ostrym porz膮dkiem cz臋艣ciowym. - nie jest sp贸jna, gdy偶 liczby $-1$ i $1$ s膮 niepor贸wnywalne w sensie tej relacji. Zatem $R$ nie wyznacza ostrego porz膮dku liniowego. d) $xRy\iff x^2\le y^2$ - nie jest antysymetryczna, argument jak w przyk艂adzie b). Przy okazji relacje z c) i d) s膮 zupe艂nie podobne do relacji a) i b), tylko s膮 okre艣lone na innych zbiorach. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-02 19:40:26 e) $xRy\iff x^3<y^3$ f) $xSy\iff x^3\le y^3$ (te dwie relacje om贸wi臋 razem, dlatego drugiej zmieni艂em nazw臋 na $S$) - $R$ jest przeciwzwrotna, gdy偶 dla ka偶dego rzeczywistego $a$ nieprawd膮 jest, 偶e $a^3<a^3$. Natomiast oczywi艣cie prawd膮 jest dla ka偶dego rzeczywistego $a$, 偶e $a^3\le a^3$, dlatego $S$ jest zwrotna. - $R$ i $S$ s膮 antysymetryczne, bowiem warunki $aRb$ i $bRa$ nie zachodz膮 jednocze艣nie dla 偶adnych a i b (asymetria), natomiast koniunkcja warunk贸w $aSb$ i $bSa$ poci膮ga $a=b$ (oczywi艣cie je艣li $a^3\le b^3$ oraz $b^3\le a^3$, to $a^3=b^3$ czyli $a=b$) - $R$ i $S$ s膮 przechodnie w spos贸b do艣膰 oczywisty (por贸wnaj c), d) ) - $S$ jest relacj膮 sp贸jn膮, bowiem dla dowolnych liczb $a,b$ mamy $a^3\le b^3$ lub $b^3\le a^3$ $S$ jest porz膮dkiem liniowym, a $R$ zwi膮zanym z nim ostrym porz膮dkiem. (To znaczy $aRb \iff aSb \wedge a\neq b$ ) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-02 19:49:13 2) a) $|$ jest zwrotna, bo oczywi艣cie $a|a$ dla ka偶dego $a\in N_1$ $|$ jest przechodnia, je艣li $a|b$ i $b|c$ to $a|c$ $|$ jest antysymetryczna, je艣li $a|b$ i $b|a$ to $a=b$ Zatem rzeczywi艣cie $|$ porz膮dkuje $N_1$ $|$ nie jest sp贸jna, nie zachodzi na przyk艂ad ani $3|5$ ani $5|3$, czyli porz膮dek $|$ nie jest liniowy b) Relacja $|$ w zbiorze $Z$ nie jest antysymetryczna, bowiem $-3|3$ i $3|-3$, a jednak $3\neq -3$ W zwi膮zku z tym $|$ nie porz膮dkuje $Z$. Nie jest te偶 ostrym porz膮dkiem, gdy偶 nie jest przeciwzwrotna ($3|3$). |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-02 19:56:23 3. $R$ jest zwrotna, oczywi艣cie $(a+bi)R(a+bi)$, bo $a=a$ oraz $b\le b$ $R$ jest przechodnia, bo je艣li $a_1=a_2$ i $b_1\le b_2$ oraz $a_2=a_3$ i $b_2\le b_3$ to $a_1=a_3$ i $b_1\le b_3$ $R$ jest antysymetryczna, bo je艣li $a_1=a_2$ i $b_1\le b_2$ oraz $a_2=a_1$ i $b_2\le b_1$ to $a_1+b_1i=a_2+b_2i$ Zatem $R$ porz膮dkuje $C$. Nie jest jednak porz膮dkiem liniowym, gdy偶 nie jest sp贸jna. Na przyk艂ad liczby $1+i$, $2+i$ s膮 niepor贸wnywalne w sensie tej relacji. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj