Logika, zadanie nr 833
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| bububu postów: 3 |  2013-01-02 18:37:441) Relacja R jest określona w zbiorze Z następująco: a) aRb$\iff$|a|<|b| b) aRb$\iff$|a|$\le$|b| dla a,b$\in$Z. Zbadać czy relacja R jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Czy R jest relacją częściowo porządkoującą, liniowo porządkującą zbiór Z ? c) xRy$\iff$$x^{2}$<$y^{2}$ d) xRy$\iff$$x^{2}$$\le$$y^{2}$ e) xRy$\iff$$x^{3}$<$y^{3}$ f) xRy$\iff$$x^{3}$$\le$$y^{3}$ dla x,y$\in$R. Czy R jest relacją częściowo porządkującą, liniowo porządkującą zbiór R ? 2) a) Udowodnić, że relacja podzielności | w zbiorze $N_{1}$ jest relacją częściowego porządku. Czy relacja podzielności | liniowo porządkuje zbiór $N_{1}$ ? b) Czy relacja podzielności | w zbiorze Z jest relacją częściowego porządku ? 3) W zbiorze C liczb zespolonych relacja R określona jest następująco : ($a_{1}$ + $b_{1i}$]R($a_{2}$ + $b_{2i}$)$\iff$($a_{1}$=$a_{2}$ $\wedge$ $b_{1}$ $\le$ $b_{2}$) dla $a_{1}$ + $b_{1i}$, $a_{2}$ + $b_{2i}$ $\in$ C. Zbadać, czy relacja R liniowo porządkuje zbiór C. Wiadomość była modyfikowana 2013-01-02 18:38:46 przez bububu |
| tumor postów: 8070 | 2013-01-02 19:18:14 1) a) Nie jest zwrotna, jest przeciwzwrotna, gdyż dla każdego $a\in Z$ nie jest prawdą, że $|a|<|a|$ Jest asymetryczna, to znaczy nie istnieją $a,b$ takie, że $aRb$ i jednocześnie $bRa$. Skoro jest asymetryczna, to jest antysymetryczna. Jest przechodnia, oczywiście jeśli $|a|<|b|$ i $|b|<|c|$, to $|a|<|c|$. Nie jest spójna, liczby przeciwne są nieporównywalne, na przykład $-1\neq 1$ i $\sim(-1)R(1)$ i $\sim(1)R(-1)$ b) Jest zwrotna, bo dla każdego $a\in Z$ mamy $|a|\le |a|$ Nie jest antysymetryczna, bo jeśli $aRb$ i $bRa$, to niekoniecznie $a=b$ (na przykład $a=1$, $b=-1$) Jest przechodnia, bo jeśli $|a|\le|b|$ i $|b|\le|c|$, to $|a|\le|c|$. Jest spójna, bo dla każdych dwóch liczb całkowitych $a,b$ prawdą jest $aRb$ lub $bRa$. --- Pierwsza relacja nie jest zwrotna, nie jest więc (słabym) porządkiem częściowym. Jest przeciwzwrotna i przechodnia, jest więc ostrym porządkiem częściowym. Druga relacja nie jest antysymetryczna, zatem nie jest ani słabym ani ostrym porządkiem. |
| tumor postów: 8070 | 2013-01-02 19:27:45 c) $xRy\iff x^2<y^2$ - nie jest zwrotna, jest przeciwzwrotna, gdyż dla każdego rzeczywistego $a$ nieprawda, że $a^2<a^2$ Zatem na pewno nie jest porządkiem słabym. Może jest porządkiem ostrym, sprawdzimy przechodniość. - jest przechodnia, jeśli $a^2<b^2$ i $b^2<c^2$, to oczywiście $a^2<c^2$ Zatem $R$ jest ostrym porządkiem częściowym. - nie jest spójna, gdyż liczby $-1$ i $1$ są nieporównywalne w sensie tej relacji. Zatem $R$ nie wyznacza ostrego porządku liniowego. d) $xRy\iff x^2\le y^2$ - nie jest antysymetryczna, argument jak w przykładzie b). Przy okazji relacje z c) i d) są zupełnie podobne do relacji a) i b), tylko są określone na innych zbiorach. |
| tumor postów: 8070 | 2013-01-02 19:40:26 e) $xRy\iff x^3<y^3$ f) $xSy\iff x^3\le y^3$ (te dwie relacje omówię razem, dlatego drugiej zmieniłem nazwę na $S$) - $R$ jest przeciwzwrotna, gdyż dla każdego rzeczywistego $a$ nieprawdą jest, że $a^3<a^3$. Natomiast oczywiście prawdą jest dla każdego rzeczywistego $a$, że $a^3\le a^3$, dlatego $S$ jest zwrotna. - $R$ i $S$ są antysymetryczne, bowiem warunki $aRb$ i $bRa$ nie zachodzą jednocześnie dla żadnych a i b (asymetria), natomiast koniunkcja warunków $aSb$ i $bSa$ pociąga $a=b$ (oczywiście jeśli $a^3\le b^3$ oraz $b^3\le a^3$, to $a^3=b^3$ czyli $a=b$) - $R$ i $S$ są przechodnie w sposób dość oczywisty (porównaj c), d) ) - $S$ jest relacją spójną, bowiem dla dowolnych liczb $a,b$ mamy $a^3\le b^3$ lub $b^3\le a^3$ $S$ jest porządkiem liniowym, a $R$ związanym z nim ostrym porządkiem. (To znaczy $aRb \iff aSb \wedge a\neq b$ ) |
| tumor postów: 8070 | 2013-01-02 19:49:13 2) a) $|$ jest zwrotna, bo oczywiście $a|a$ dla każdego $a\in N_1$ $|$ jest przechodnia, jeśli $a|b$ i $b|c$ to $a|c$ $|$ jest antysymetryczna, jeśli $a|b$ i $b|a$ to $a=b$ Zatem rzeczywiście $|$ porządkuje $N_1$ $|$ nie jest spójna, nie zachodzi na przykład ani $3|5$ ani $5|3$, czyli porządek $|$ nie jest liniowy b) Relacja $|$ w zbiorze $Z$ nie jest antysymetryczna, bowiem $-3|3$ i $3|-3$, a jednak $3\neq -3$ W związku z tym $|$ nie porządkuje $Z$. Nie jest też ostrym porządkiem, gdyż nie jest przeciwzwrotna ($3|3$). |
| tumor postów: 8070 | 2013-01-02 19:56:23 3. $R$ jest zwrotna, oczywiście $(a+bi)R(a+bi)$, bo $a=a$ oraz $b\le b$ $R$ jest przechodnia, bo jeśli $a_1=a_2$ i $b_1\le b_2$ oraz $a_2=a_3$ i $b_2\le b_3$ to $a_1=a_3$ i $b_1\le b_3$ $R$ jest antysymetryczna, bo jeśli $a_1=a_2$ i $b_1\le b_2$ oraz $a_2=a_1$ i $b_2\le b_1$ to $a_1+b_1i=a_2+b_2i$ Zatem $R$ porządkuje $C$. Nie jest jednak porządkiem liniowym, gdyż nie jest spójna. Na przykład liczby $1+i$, $2+i$ są nieporównywalne w sensie tej relacji. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj