Algebra, zadanie nr 841

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-01-04 22:51:04 Czy (x) jest ideałem maksymalnym w a) $\mathbb{R}[x]$ b) $\mathbb{C}[x]$ c) $\mathbb{Z}[x]$ a) z tw. (x) maksymalny wtedy i tylko wtedy,gdy $\mathbb{R}[x]$$/$(x) jest ciałem w b) i c) analogicznie wiem,że $\mathbb{R},\mathbb{C}$ są ciałami,zaś $\mathbb{Z}$ nie jest ciałem (jest pierścieniem całkowitym) więc wydaje mi się,że (x) w a) i b) jest maksymalny a w c) nie jest maksymalny. Problem w tym,jak to pokazać:) z góry dziękuję za pomoc:)

tumor postów: 8070	2013-01-05 08:29:34 Spróbuj zrozumieć, o czym jest mowa. $(x)$ to ideał, zbiór wszystkich wielomianów postaci $a(x)x$, gdzie $a(x)\in R[x]$ (lub $C[x]$ lub $Z[x]$). Jakie zatem wielomiany należą do tego ideału, a jakie nie? Należy wielomian zerowy (bo to $0x$), w ogóle należą wszelkie wielomiany mające miejsce zerowe w $0$. Nie należą zaś wszystkie inne wielomiany, czyli stałe niezerowe, wielomiany bez miejsc zerowych, wielomiany z (wyłącznie) innymi miejscami zerowymi. I teraz odpowiedz sobie (mózgowo) na pytanie, czy $(x)$ musi być ideałem maksymalnym, to znaczy, czy jest możliwy większy (w sensie inkluzji) ideał właściwy. a) $R[x]$ Jeśli $c\in R^$ jest stałą, to ideał $(x,c)$ jest niewłaściwy, jest równy $R[x]$ (Przemyśl to. Z $c$ da się uzyskać $1$, a z $1$ dowolny wielomian zbioru $R[x]$) Podobnie jeśli $w(x)$ jest wielomianem, który nie ma miejsca zerowego w $0$, to ideał $(x, w(x))$ jest niewłaściwy. $w(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$, przy tym $a_0\neq 0$. Wielomian $a_1x+...+a_nx^n$ jest generowany przez element $x$. Zatem różnica $a_0+a_1x+...+a_nx^n-(a_1x+...+a_nx^n)=a_0$ należy do ideału, ale wtedy bierzemy po prostu $c=a_0$ i dostajemy przypadek wcześniejszy. Choć WYSTARCZY skorzystać z pewnych twierdzeń, chciałbym żebyś ROZUMIAŁA, jaki to ideał maksymalny. Maksymalnym jest ten, od którego nie ma większego w sensie inkluzji a wciąż właściwego. Czyli inaczej: taki, od którego każdy większy jest już całym pierścieniem. I pokazaliśmy. Gdyby do $(x)$ dodać jakiś element spoza $(x)$ i wygenerować na tym ideał, to dostaniemy cały $R[x]$. b) dokładnie analogicznie. Jeśli bowiem mamy stałą $c\in C^$, to WSZYSTKIE wielomiany z $C[x]$ należą do ideału $(x,c)$. Jeśli mamy wielomian $w(x)$ który nie należy do $(x)$, to $a_0\neq 0$ itd. c) czy jednak jest tak samo dla $Z[x]$? Nie! Weźmy bowiem $(x)$. Oczywiście $32\notin (x)$. Weźmy $(x,32)$. Oczywiście $16 \notin (x,32)$, czyli $(x,32)$ jest właściwy i większy w sensie inkluzji niż $(x)$. Wynika to właśnie stąd, że $Z$ nie jest ciałem, a zatem dodanie stałej nieodwracalnej niezerowej (nie ma takich w $R$ i $C$) jest możliwe, a stworzy większy ideał.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj