Algebra, zadanie nr 841
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-01-04 22:51:04Czy (x) jest idea艂em maksymalnym w a) $\mathbb{R}[x]$ b) $\mathbb{C}[x]$ c) $\mathbb{Z}[x]$ a) z tw. (x) maksymalny wtedy i tylko wtedy,gdy $\mathbb{R}[x]$$/$(x) jest cia艂em w b) i c) analogicznie wiem,偶e $\mathbb{R},\mathbb{C}$ s膮 cia艂ami,za艣 $\mathbb{Z}$ nie jest cia艂em (jest pier艣cieniem ca艂kowitym) wi臋c wydaje mi si臋,偶e (x) w a) i b) jest maksymalny a w c) nie jest maksymalny. Problem w tym,jak to pokaza膰:) z g贸ry dzi臋kuj臋 za pomoc:) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-05 08:29:34 Spr贸buj zrozumie膰, o czym jest mowa. $(x)$ to idea艂, zbi贸r wszystkich wielomian贸w postaci $a(x)*x$, gdzie $a(x)\in R[x]$ (lub $C[x]$ lub $Z[x]$). Jakie zatem wielomiany nale偶膮 do tego idea艂u, a jakie nie? Nale偶y wielomian zerowy (bo to $0*x$), w og贸le nale偶膮 wszelkie wielomiany maj膮ce miejsce zerowe w $0$. Nie nale偶膮 za艣 wszystkie inne wielomiany, czyli sta艂e niezerowe, wielomiany bez miejsc zerowych, wielomiany z (wy艂膮cznie) innymi miejscami zerowymi. I teraz odpowiedz sobie (m贸zgowo) na pytanie, czy $(x)$ musi by膰 idea艂em maksymalnym, to znaczy, czy jest mo偶liwy wi臋kszy (w sensie inkluzji) idea艂 w艂a艣ciwy. a) $R[x]$ Je艣li $c\in R^*$ jest sta艂膮, to idea艂 $(x,c)$ jest niew艂a艣ciwy, jest r贸wny $R[x]$ (Przemy艣l to. Z $c$ da si臋 uzyska膰 $1$, a z $1$ dowolny wielomian zbioru $R[x]$) Podobnie je艣li $w(x)$ jest wielomianem, kt贸ry nie ma miejsca zerowego w $0$, to idea艂 $(x, w(x))$ jest niew艂a艣ciwy. $w(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$, przy tym $a_0\neq 0$. Wielomian $a_1x+...+a_nx^n$ jest generowany przez element $x$. Zatem r贸偶nica $a_0+a_1x+...+a_nx^n-(a_1x+...+a_nx^n)=a_0$ nale偶y do idea艂u, ale wtedy bierzemy po prostu $c=a_0$ i dostajemy przypadek wcze艣niejszy. Cho膰 WYSTARCZY skorzysta膰 z pewnych twierdze艅, chcia艂bym 偶eby艣 ROZUMIA艁A, jaki to idea艂 maksymalny. Maksymalnym jest ten, od kt贸rego nie ma wi臋kszego w sensie inkluzji a wci膮偶 w艂a艣ciwego. Czyli inaczej: taki, od kt贸rego ka偶dy wi臋kszy jest ju偶 ca艂ym pier艣cieniem. I pokazali艣my. Gdyby do $(x)$ doda膰 jaki艣 element spoza $(x)$ i wygenerowa膰 na tym idea艂, to dostaniemy ca艂y $R[x]$. b) dok艂adnie analogicznie. Je艣li bowiem mamy sta艂膮 $c\in C^*$, to WSZYSTKIE wielomiany z $C[x]$ nale偶膮 do idea艂u $(x,c)$. Je艣li mamy wielomian $w(x)$ kt贸ry nie nale偶y do $(x)$, to $a_0\neq 0$ itd. c) czy jednak jest tak samo dla $Z[x]$? Nie! We藕my bowiem $(x)$. Oczywi艣cie $32\notin (x)$. We藕my $(x,32)$. Oczywi艣cie $16 \notin (x,32)$, czyli $(x,32)$ jest w艂a艣ciwy i wi臋kszy w sensie inkluzji ni偶 $(x)$. Wynika to w艂a艣nie st膮d, 偶e $Z$ nie jest cia艂em, a zatem dodanie sta艂ej nieodwracalnej niezerowej (nie ma takich w $R$ i $C$) jest mo偶liwe, a stworzy wi臋kszy idea艂. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj