Algebra, zadanie nr 846
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| marcin2002 postów: 484 |  2013-01-06 23:30:12Sprawdzić czy punkty P = (1,1,1) , Q = (0,1,2) , R = (-1,3,0) , S = (5,0,-4) leżą na jednej płaszczyźnie. Jeśli nie, to obliczyć objętość czworościanu rozpiętego na tych wektorach i/lub o wierzchołkach PQRS |
| tumor postów: 8070 | 2013-01-07 19:45:59 Policzmy wektory $PQ=[-1,0,1]$ $PR=[-2,2,-1]$ $PS=[4,-1,-5]$ Widzimy (po wyznaczniku na przykład), że wektory są liniowo niezależne, zatem rozpinają przestrzeń trójwymiarową, zatem nie leżą na jednej płaszczyźnie, zatem i punkty nie leżą na jednej płaszczyźnie. Wektory rozpinają pewien równoległościan. W celu obliczenia objętości równoległościanu policzymy sobie iloczyny skalarne. PQ*PQ=2 PR*PR=9 PS*PS=42 PQ*PR=1 PQ*PS=-9 PR*PS=-5 Macierz Grama $G=\left[\begin{matrix} 2 &1 & -9 \\ 1 & 9 & -5 \\ -9 & -5 & 42\end{matrix}\right]$ $det G = 25$ Objętość równoległościanu $V=\sqrt{detG}=5$ Nasz czworościan ma o połowę mniejsze pole podstawy, czyli sześciokrotnie mniejszą objętość, zatem równą $\frac{5}{6}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj