logowanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 850

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

Autor	Zadanie / RozwiÄ zanie
naimad21 postĂłw: 380	2013-01-07 22:24:05 Mam zadanko \"KorzystajÄ c z twierdzenia o trzech ciÄ gach znaleźć podane granice:\" np: a) $\frac{2n+(-1)^{n}}{3n+2}$ poprosiłbym kogoś o przykładowe rozwiÄ zanie i wytłumaczenie jak najlepiej dobierać oszacowania, jakiś schemat, cokolwiek co moĹźe mi się przydać przy rozwiÄ zaniu zadań tego typu. (jestem samoukiem i nikt mi tego nie tłumaczył, nie miałem Ĺźadnych wykładĂłw z tego, twierdzenie ogarniam, ale nie mam wprawy jeszcze w praktyce, dlatego kaĹźda pomoc mile widziana ;))
tumor postĂłw: 8070	2013-01-08 08:36:42 Tak musisz szacować, Ĺźeby i dolne oszacowanie i gĂłrne miały tę samÄ granicę. :) Tu oczywistym oszacowaniem (choć uĹźycie tw. o 3 ciÄ gach jest w zasadzie zbędne) jest $\frac{2n-1}{3n+2}\le \frac{2n+(-1)^n}{3n+2} \le \frac{2n+1}{3n+2}$ ( moĹźna było $\lim_{n \to \infty}\frac{2n+(-1)^n}{3n+2}=$ $\lim_{n \to \infty}\frac{n(2+\frac{(-1)^n}{n})}{n(3+\frac{2}{n})}=\frac{2}{3}$ bo $\frac{n}{n}$ w skracamy, a $\frac{(-1)^n}{n}$ i $\frac{2}{n}$ malejÄ w granicy do $0$ ) ----- Nieco moĹźe ciekawszy przykład to zadanie 849 b). W ogĂłlnym przypadku zastanawiamy się, co moĹźna zmienić, by nie naruszyć zbieĹźności, co czego przydaje się wiedza o tempie wzrostu funkcji czy jej zbieĹźności. Na przykład $\frac{238468234*2^{n+50}+3^n+n^7-16n^3+ln^{298734972}n^5+cosnln10^n}{(3,0001)^n-99999!(2,9999999)^n-n^{99999!}}$ ma dość oczywistÄ granicę (jakÄ ?), jeśli wiemy, Ĺźe funkcje wykładnicze $a^n$, dla $a>1$ rosnÄ (prędzej czy później) szybciej od kaĹźdego wielomianu, a kaĹźdy wielomian co najmniej pierwszego stopnia o dodatnim najwyĹźszym współczynniku rośnie szybciej od logarytmu. Pomyśl jaka jest granica $\frac{n^n}{n!}$ albo $\frac{n^n}{128781468711234^{n+100}}$, a takĹźe $\frac{n!}{n^n}$ albo $\frac{128781468711234^{n+100}}{n^n}$ Gdy będziesz to wiedział, automatycznie zrobisz $\frac{4n^n+7(n!)}{4,5n^n-((9!)^{500})^n}$ nawet na oko, a bez twierdzenia o trzech ciÄ gach. :) Natomiast jak wyjdzie na oko to i odpowiednie oszacowania da się zrobić. :) Tw. o 3 ciÄ gach nadaje się do usuwania bzdurek, ktĂłre i tak by przy liczeniu granicy znikły, ale nie jest łatwo przekształcić wyraĹźenie. Na przykład $\sqrt[n]{(n+cosn)3^n+2^n+n^{10}}$ Suma pod pierwiastkiem jest trudna do ruszenia, a moĹźna od razu, bez certolenia: $\sqrt[n]{3^n}\le \sqrt[n]{(n+cosn)3^n+2^n+n^{10}} \le \sqrt[n]{n^{100}*3^n}$ Zdecydowanie nie jest to delikatne szacowanie, a dobre (pierwiastek stopnia n pozwala na takÄ zabawę). ------- Hihi. ;) Skoro juĹź mĂłwiliśmy o ksiÄ Ĺźkach ze złoĹźoności obliczeniowej: przeczytaj moĹźe coś o asymptotycznym tempie wzrostu. Ja się umie na oko pewne funkcje porĂłwnać (bo się je raz a dobrze porĂłwnało dobrym obliczeniem) to potem wiele rzeczy idzie szybko. Wiadomość była modyfikowana 2013-01-08 08:41:25 przez tumor
naimad21 postĂłw: 380	2013-01-08 18:08:17 $\frac{n!}{n^{n}}\rightarrow 0$ $\frac{n^{n}}{n!}\rightarrow +\infty$ $\frac{n^n}{128781468711234^{n+100}} \rightarrow +\infty$ $\frac{128781468711234^{n+100}}{n^n} \rightarrow 0$ $\frac{238468234*2^{n+50}+3^n+n^7-16n^3+ln^{298734972}n^5+cosnln10^n}{(3,0001)^n-99999!(2,9999999)^n-n^{99999!}}$ nie mam pojęcia ;d $\frac{4n^n+7(n!)}{4,5n^n-((9!)^{500})^n} \rightarrow \frac{8}{9}?$ Czyli krĂłtko mĂłwiÄ c, $n^{n}>5^{n}>n^{7}>logn$ dla n > od odpowiednio wysokiej liczby zachodzi taka nierĂłwność ? Poszukam coś w bibliotece, moĹźe się coś ciekawego znajdzie ;)
tumor postĂłw: 8070	2013-01-08 20:19:24 Jak nie masz pojęcia. :) Masz, jest oczywisty w świetle wcześniejszych. $3^n$ rośnie szybciej niĹź pozostałe funkcje z licznika, moĹźna szacować $3^n\le licznik \le 2*3^n$ W mianowniku analogicznie: $\frac{1}{2}(3,0001)^n\le mianownik \le (3,0001)^n$ A z takim oszacowaniem jak wyglÄ dać będzie granica? ----- Tam gdzie pytasz, czy \frac{8}{9} tam mĂłwię \"tak\".
naimad21 postĂłw: 380	2013-01-08 21:05:18 Z takim oszacowaniem wychodzi, Ĺźe granica powinna dÄ Ĺźyć do $+\infty$, jeśli się nie mylę. W miarę juĹź rozumiem szacowanie z liczbÄ $a^{n}$. Porobię sobie jeszcze inne przykłady i zobaczę czy będzie dobrze szło, najwyĹźej się zwrĂłcę jeszcze o jakieś porady, dzięki wielkie! ;)
tumor postĂłw: 8070	2013-01-08 21:11:59 Licznik jest u gĂłry, mianownik na dole :P Czyli ta niepoliczona granica jest 0.
naimad21 postów: 380	2013-01-08 21:15:34 No tak, już rozumiem, zmylił mnie współczynnik $\frac{1}{2}$ po lewej stronie szacowania mianownika, ale przecież od pewnego momentu, dla liczby odpowiednio dużej, mianownik zacznie się robić większy od licznika ;)
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj

© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj