Analiza matematyczna, zadanie nr 850

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
naimad21 postów: 380	2013-01-07 22:24:05 Mam zadanko "Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice:" np: a) $\frac{2n+(-1)^{n}}{3n+2}$ poprosiłbym kogoś o przykładowe rozwiązanie i wytłumaczenie jak najlepiej dobierać oszacowania, jakiś schemat, cokolwiek co może mi się przydać przy rozwiązaniu zadań tego typu. (jestem samoukiem i nikt mi tego nie tłumaczył, nie miałem żadnych wykładów z tego, twierdzenie ogarniam, ale nie mam wprawy jeszcze w praktyce, dlatego każda pomoc mile widziana ;))

tumor postów: 8070	2013-01-08 08:36:42 Tak musisz szacować, żeby i dolne oszacowanie i górne miały tę samą granicę. :) Tu oczywistym oszacowaniem (choć użycie tw. o 3 ciągach jest w zasadzie zbędne) jest $\frac{2n-1}{3n+2}\le \frac{2n+(-1)^n}{3n+2} \le \frac{2n+1}{3n+2}$ ( można było $\lim_{n \to \infty}\frac{2n+(-1)^n}{3n+2}=$ $\lim_{n \to \infty}\frac{n(2+\frac{(-1)^n}{n})}{n(3+\frac{2}{n})}=\frac{2}{3}$ bo $\frac{n}{n}$ w skracamy, a $\frac{(-1)^n}{n}$ i $\frac{2}{n}$ maleją w granicy do $0$ ) ----- Nieco może ciekawszy przykład to zadanie 849 b). W ogólnym przypadku zastanawiamy się, co można zmienić, by nie naruszyć zbieżności, co czego przydaje się wiedza o tempie wzrostu funkcji czy jej zbieżności. Na przykład $\frac{2384682342^{n+50}+3^n+n^7-16n^3+ln^{298734972}n^5+cosnln10^n}{(3,0001)^n-99999!(2,9999999)^n-n^{99999!}}$ ma dość oczywistą granicę (jaką?), jeśli wiemy, że funkcje wykładnicze $a^n$, dla $a>1$ rosną (prędzej czy później) szybciej od każdego wielomianu, a każdy wielomian co najmniej pierwszego stopnia o dodatnim najwyższym współczynniku rośnie szybciej od logarytmu. Pomyśl jaka jest granica $\frac{n^n}{n!}$ albo $\frac{n^n}{128781468711234^{n+100}}$, a także $\frac{n!}{n^n}$ albo $\frac{128781468711234^{n+100}}{n^n}$ Gdy będziesz to wiedział, automatycznie zrobisz $\frac{4n^n+7(n!)}{4,5n^n-((9!)^{500})^n}$ nawet na oko, a bez twierdzenia o trzech ciągach. :) Natomiast jak wyjdzie na oko to i odpowiednie oszacowania da się zrobić. :) Tw. o 3 ciągach nadaje się do usuwania bzdurek, które i tak by przy liczeniu granicy znikły, ale nie jest łatwo przekształcić wyrażenie. Na przykład $\sqrt[n]{(n+cosn)3^n+2^n+n^{10}}$ Suma pod pierwiastkiem jest trudna do ruszenia, a można od razu, bez certolenia: $\sqrt[n]{3^n}\le \sqrt[n]{(n+cosn)3^n+2^n+n^{10}} \le \sqrt[n]{n^{100}3^n}$ Zdecydowanie nie jest to delikatne szacowanie, a dobre (pierwiastek stopnia n pozwala na taką zabawę). ------- Hihi. ;) Skoro już mówiliśmy o książkach ze złożoności obliczeniowej: przeczytaj może coś o asymptotycznym tempie wzrostu. Ja się umie na oko pewne funkcje porównać (bo się je raz a dobrze porównało dobrym obliczeniem) to potem wiele rzeczy idzie szybko. Wiadomość była modyfikowana 2013-01-08 08:41:25 przez tumor

naimad21 postów: 380	2013-01-08 18:08:17 $\frac{n!}{n^{n}}\rightarrow 0$ $\frac{n^{n}}{n!}\rightarrow +\infty$ $\frac{n^n}{128781468711234^{n+100}} \rightarrow +\infty$ $\frac{128781468711234^{n+100}}{n^n} \rightarrow 0$ $\frac{238468234*2^{n+50}+3^n+n^7-16n^3+ln^{298734972}n^5+cosnln10^n}{(3,0001)^n-99999!(2,9999999)^n-n^{99999!}}$ nie mam pojęcia ;d $\frac{4n^n+7(n!)}{4,5n^n-((9!)^{500})^n} \rightarrow \frac{8}{9}?$ Czyli krótko mówiąc, $n^{n}>5^{n}>n^{7}>logn$ dla n > od odpowiednio wysokiej liczby zachodzi taka nierówność ? Poszukam coś w bibliotece, może się coś ciekawego znajdzie ;)

tumor postów: 8070	2013-01-08 20:19:24 Jak nie masz pojęcia. :) Masz, jest oczywisty w świetle wcześniejszych. $3^n$ rośnie szybciej niż pozostałe funkcje z licznika, można szacować $3^n\le licznik \le 2*3^n$ W mianowniku analogicznie: $\frac{1}{2}(3,0001)^n\le mianownik \le (3,0001)^n$ A z takim oszacowaniem jak wyglądać będzie granica? ----- Tam gdzie pytasz, czy \frac{8}{9} tam mówię "tak".

naimad21 postów: 380	2013-01-08 21:05:18 Z takim oszacowaniem wychodzi, że granica powinna dążyć do $+\infty$, jeśli się nie mylę. W miarę już rozumiem szacowanie z liczbą $a^{n}$. Porobię sobie jeszcze inne przykłady i zobaczę czy będzie dobrze szło, najwyżej się zwrócę jeszcze o jakieś porady, dzięki wielkie! ;)

tumor postów: 8070	2013-01-08 21:11:59 Licznik jest u góry, mianownik na dole :P Czyli ta niepoliczona granica jest 0.

naimad21 postów: 380	2013-01-08 21:15:34 No tak, już rozumiem, zmylił mnie współczynnik $\frac{1}{2}$ po lewej stronie szacowania mianownika, ale przecież od pewnego momentu, dla liczby odpowiednio dużej, mianownik zacznie się robić większy od licznika ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj