Analiza matematyczna, zadanie nr 853

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
nebuchadnezzar postów: 2	2013-01-09 01:08:43 Witam serdecznie! Proszę was o sprawdzenie wykonania zbadania przebiegu zmienności funkcji $f(x)= \frac{-18x+10}{9x-2}$ Póki co jedynym problemem jaki posiadam to skompletowanie wyników do tabeli - jednak jestem całkowicie przekonany że wasze doświadczone oko wychwyci coś jeszcze :) *1) Dziedzina* $D:x \in R -\left\{ \frac{2}{9} \right\}$ *2) Asymptoty* *a) pozioma* $\lim_{ x \to \pm \infty}\frac{-18x+10}{9x-2}=- \frac{18}{9} = -2$ *b) pionowa* $\lim_{ x \to \frac{2}{9}}\frac{-18x+10}{9x-2}=\left[ \frac{6}{0} \right]=+ \infty$ (x jako "trochę mniej" niż wartość $\frac{2}{9}$) $\lim_{ x \to \frac{2}{9}}\frac{-18x+10}{9x-2}=\left[ \frac{6}{0} \right]=- \infty$ (x jako "trochę więcej" niż wartość $\frac{2}{9}$) W tym punkcie wychodzi na to, że asymptotą pionową jest $\frac{2}{9}$ *3) Przecięcia z osiami* *a) Oś x* $y= \frac{-18x+10}{9x-2}$ $0=\frac{-18x+10}{9x-2}$ $0=-18x+10$ $18x=10$ $x= \frac{5}{9}$ *b) oś y* $y= \frac{10}{-2} = -5$ *4) Monotoniczność, ekstrema* $f'(x) = \frac{(-18x+10)'(9x-2) - (-18x+10)(9x-2)'}{ (9x-2)^{2} }$ $f'(x)= \frac{-54}{(9x-2) ^{2} }$ Tutaj ważny moment!Z tego wynika, że $f'(x)<0$ co daje nam funkcję malejącą.Jednak jak z tego zapisu można określić ekstrema funkcji? *5) Wypukłości, wklęsłości, punkty przegięcia* $f''(x)= \frac{(-54)'(9x-2) ^{2}-(-54) ((9x-2)^{2})' }{ (9x-2)^{4} }$ $f''(x)= \frac{54162x-36}{ (9x-2)^{4} }$ $54162x-36=0$ (dzielę przez największą wspólną liczbę) $3*9x-2=0$ (tutaj za x podstawiam $\frac{2}{9}$, czy był to właściwy manewr?) $3 \neq 0$ - brak punktów przegięcia Z tego wynika, że $f''(x)>0$, co daje nam funkcję wypukłą. Tutaj moja przygoda z tym zadaniem się kończy. Nie mam pojęcia, w jaki sposób mam wykonać tabelkę gdzie umieszczę wszystkie dotychczasowe dane. Nie wiem nawet, czy jest to poprawnie wykonane zadanie. Mogę liczyć na Waszą pomoc? Dziękuję za zainteresowanie :)

tumor postów: 8070	2013-01-09 12:24:27 Jeśli funkcja jest malejąca, to nie ma ekstremów. Ta jest, przy okazji, malejąca w dwóch przedziałach ODDZIELNIE, bo dziedzina jest podzielona na dwa przedziały. Zastanów się, czy przy takich granicach jednostronnych w $\frac{2}{9}$ funkcja może być malejąca (nie może, granice będą mieć przeciwne znaki). Przy tym można granice oznaczać, na przykład $\lim_{(x \to 0-)}$ oznacza twoje "trochę mniej niż 0" O co chodzi w manewrze w punktach przegięcia? Czy podstawiasz "bo pani mówiła"? Druga pochodna jest policzona źle. Jej licznik będzie równy $-(-54)2(9x-2)*9$, zatem nie ma najmniejszego sensu wymnażanie (tu masz bowiem błąd), żeby następnie dzielić. :) Pierwiastkiem licznika drugiej pochodnej jest $\frac{2}{9}$, a tam dziedziny nie ma, czyli nie może być punktu przegięcia. Dla $x<\frac{2}{9}$ dostaniemy $f``<0$, co daje funkcję wklęsłą, dla $x>\frac{2}{9}$ mamy $f``>0$ i funkcję wypukłą. Robisz drobne błędy (przy liczeniu granic czy mnożeniu). To nieistotne. Istotne, że nie umiesz ich wykryć. Jeśli funkcja w -nieskończoności ma wartość bliską $-2$, a MALEJE, to nie może zbliżając się ku $\frac{2}{9}$ ROSNĄĆ do $+\infty$. Jeden podpunkt zupełnie przeczy innemu, ale tego nie widzisz (i analogicznie po drugiej stronie, też funkcja musiałaby rosnąć, choć maleje). I podobnie z wypukłością. Funkcja malejąca i wypukła MUSI mieć w -nieskończoności granicę $\infty$. Nie ma. Zatem albo nie jest malejąca, albo nie jest wypukła. Znów sprzeczność, której nie zauważasz. Problem w tym, że nie wyobrażasz sobie wykresu. Dodam, że nie chodzi o to, żeby sobie znaleźć program rysujący wykresy, ale by na tyle poznać pojęcia, którymi operujesz, by wiedzieć, które się wykluczają, no i w ogóle by mniej więcej widzieć w wyobraźni zachowanie funkcji.

nebuchadnezzar postów: 2	2013-01-09 13:34:30 No nic, muszę zatem mocno wziąć się do roboty, wykonać kilkanaście-kilkadziesiąt przykładów, do momentu aż to załapię. Dziękuję serdecznie za pomoc i konstruktywną krytykę :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj