Analiza matematyczna, zadanie nr 862

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
abcdefgh postów: 1255	2013-01-10 15:07:00 Dlaczego $\lim_{x \to 0} sin\frac{1}{x}$ nie istnieje? a $\lim_{x \to \infty} x*sin\frac{1}{x}=1$?? proszę o wytłumaczenie

tumor postów: 8070	2013-01-10 17:28:18 A ile miałaby wynosić granica $\lim_{x \to 0}sin\frac{1}{x}$ ? Przeczytaj (ze zrozumieniem) definicję granicy (wszystko jedno Cauchy'ego czy Heinego). Zauważ, że jeśli weźmiemy pewien otwarty przedział zawierający $x_0=0$, to w tym przedziale znajdują się takie $x$, dla których $f(x)=1$, takie $x$, dla których $f(x)=-1$ (i przeróżne inne $x$ też). Jak bardzo byś nie zmniejszał przedziału zawierającego $x_0$, to ZAWSZE sytuacja jest taka sama, wciąż wartości oscylują między $-1$ a $1$, nie zbliżając się do żadnej jednej liczby. Zatem definicja Heinego nie jest spełniona, bo można znaleźć różne ciągi $x_n$ zbieżne do $x_0$, ale dla których granice wartości $f(x_n)$ będą różne, np równe $1$ i $-1$. Definicja Cauchy'ego podobnie nie jest spełniona, weźmy $0<\epsilon<1$. Wiadomość była modyfikowana 2013-01-10 17:31:36 przez tumor

tumor postów: 8070	2013-01-10 17:39:16 Co do drugiego pytania: Geometrycznie dowodzimy, że $sinx\le x \le tgx$ dla $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ (Tu nie będę rysował, cały dowód u Fichtenholza) Skoro nierówność jest dowiedziona, to dzielimy przez $sinx$, dostajemy $1\le \frac{x}{sinx} \le \frac{1}{cosx}$ Podnosimy do potęgi -1, $1 \ge \frac{sinx}{x} \ge cosx$ z tw. o 3 funkcjach $\lim_{x \to 0+} \frac{sinx}{x}=1$ (Natomiast z uwagi na nieparzystość $sinx$ i $x$ analogiczna sytuacja dla liczb ujemnych) Granica $\lim_{x \to \infty}\frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} $jest dokładnie tym samym co powyższa. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj