Analiza matematyczna, zadanie nr 862
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
abcdefgh post贸w: 1255 |  2013-01-10 15:07:00Dlaczego $\lim_{x \to 0} sin\frac{1}{x}$ nie istnieje? a $\lim_{x \to \infty} x*sin\frac{1}{x}=1$?? prosz臋 o wyt艂umaczenie |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-10 17:28:18 A ile mia艂aby wynosi膰 granica $\lim_{x \to 0}sin\frac{1}{x}$ ? Przeczytaj (ze zrozumieniem) definicj臋 granicy (wszystko jedno Cauchy\'ego czy Heinego). Zauwa偶, 偶e je艣li we藕miemy pewien otwarty przedzia艂 zawieraj膮cy $x_0=0$, to w tym przedziale znajduj膮 si臋 takie $x$, dla kt贸rych $f(x)=1$, takie $x$, dla kt贸rych $f(x)=-1$ (i przer贸偶ne inne $x$ te偶). Jak bardzo by艣 nie zmniejsza艂 przedzia艂u zawieraj膮cego $x_0$, to ZAWSZE sytuacja jest taka sama, wci膮偶 warto艣ci oscyluj膮 mi臋dzy $-1$ a $1$, nie zbli偶aj膮c si臋 do 偶adnej jednej liczby. Zatem definicja Heinego nie jest spe艂niona, bo mo偶na znale藕膰 r贸偶ne ci膮gi $x_n$ zbie偶ne do $x_0$, ale dla kt贸rych granice warto艣ci $f(x_n)$ b臋d膮 r贸偶ne, np r贸wne $1$ i $-1$. Definicja Cauchy\'ego podobnie nie jest spe艂niona, we藕my $0<\epsilon<1$. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-01-10 17:31:36 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-10 17:39:16 Co do drugiego pytania: Geometrycznie dowodzimy, 偶e $sinx\le x \le tgx$ dla $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ (Tu nie b臋d臋 rysowa艂, ca艂y dow贸d u Fichtenholza) Skoro nier贸wno艣膰 jest dowiedziona, to dzielimy przez $sinx$, dostajemy $1\le \frac{x}{sinx} \le \frac{1}{cosx}$ Podnosimy do pot臋gi -1, $1 \ge \frac{sinx}{x} \ge cosx$ z tw. o 3 funkcjach $\lim_{x \to 0+} \frac{sinx}{x}=1$ (Natomiast z uwagi na nieparzysto艣膰 $sinx$ i $x$ analogiczna sytuacja dla liczb ujemnych) Granica $\lim_{x \to \infty}\frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} $jest dok艂adnie tym samym co powy偶sza. :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj