Analiza matematyczna, zadanie nr 875

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
attente postów: 19	2013-01-15 10:58:47 Obliczyć granice ciągów ( bardzo proszę o wytłumaczenie) a) $a_{n}$=$\frac{3}{n}$-$\frac{10}{\sqrt{n}}$ b) $a_{n}$=$\frac{(-1)^n}{2n-1}$ c) $a_{n}$=$\frac{\sqrt{1+2n^2}}{n}$-$\frac{\sqrt{1+4n^2}}{n}$ d)$a_{n}$ = $\sqrt[3]{\frac{n-1}{8n+10}}$ e) $a_{n}$ = $\frac{\sqrt{n^2-1}}{\sqrt[3]{n^3+1}}$ f) $a_{n}$ = $\frac{n}{\sqrt[3]{8n^3-n}-n}$ g) $a_{n}$ = $\frac{1}{\sqrt{4n^2+7n}-2n}$

naimad21 postów: 380	2013-01-15 11:22:20 a) Możemy to zapisać jako $a_{n}=\frac{3-10\sqrt{n}}{n}$ co daje nam granice 0, ponieważ mianownik rośnie szybciej od licznika ;) b) Licznik wraz ze wzrostem n będzie miał wartość albo -1, albo 1, mianownik przy $n\mapsto\infty $ będzie rósł w nieskończoność, -1 dzieląc przez nieskończoność to wartość będzie dążyła do 0, tak samo z 1, zatem cała granica dąży do 0.

naimad21 postów: 380	2013-01-15 11:33:04 c) $a_{n}=\frac{\sqrt{1+2n^{2}}-\sqrt{1+4n^{2}}}{n}$ dzielimy przez $\frac{\sqrt{n^{2}}}{n}$ i wychodzi $a_{n}=\frac{\sqrt{\frac{1}{n^{2}}+2}-\sqrt{\frac{1}{n^{2}}+4}}{n}$ co daje nam granice $\sqrt{2}-2$

naimad21 postów: 380	2013-01-15 11:39:59 d) $a_{n}=\sqrt[3]{\frac{n-1}{8n+10}}=\sqrt[3]{\frac{1-\frac{1}{n}}{8+\frac{10}{n}}}$ $\frac{1}{n}$ i $\frac{10}{n}$ dążą do 0, zatem granica to $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$

naimad21 postów: 380	2013-01-15 11:47:49 e) $a_{n}=\frac{\sqrt{n^2-1}}{\sqrt[3]{n^3+1}}$ licznik dzielimy przez $\sqrt{n^{2}}$, a mianownik przez $\sqrt[3]{n^{3}}$ wychodzi nam $a_{n}=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^{3}}}}$ granica to 1 f) $a_{n}=\frac{n}{\sqrt[3]{8n^3-n}-n}=\frac{1}{\sqrt[3]{8-\frac{1}{n^{2}}}-1}$ granica to $\frac{1}{\sqrt[3]{8}-1}=\frac{1}{2-1}=1$

naimad21 postów: 380	2013-01-15 11:51:34 $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{4n^2+7n}-2n}$ bez liczenia widać, że licznik jest stały a mianownik dąży do nieskończoności zatem całość dąży do 0, ale po rozpisaniu $a_{n}=\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{4+\frac{7}{n}}-2}$ widzimy, że licznik dąży do 0, a 0 przez cokolwiek daje 0 ;) rzeczywiście mój błąd ;/ Wiadomość była modyfikowana 2013-01-15 15:50:53 przez naimad21

tumor postów: 8070	2013-01-15 15:20:05 g) $\frac{1}{\sqrt{4n^2+7n}-2n}=\frac{\sqrt{4n^2+7n}+2n}{7n}\rightarrow \frac{4}{7}$ Licznik jest stały. Mianownik nie dąży do nieskończoności. Jeśli widać, że dąży, gdy nie dąży, to należy przykład rozwiązywać z liczeniem, a nie bez liczenia. Po rozpisaniu takim jak pisze naimad21 licznik dąży do 0, mianownik także do 0. Nie jest prawdą, że w granicy 0 przez cokolwiek dąży do 0. Akurat $\frac{0}{0}$ to symbol nieoznaczony i granicą może być cokolwiek (a także granica może nie istnieć).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj