Algebra, zadanie nr 881
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
staramilusia post贸w: 3 |  2013-01-16 16:13:14Hej. Mam jeszcze jedno zadanie z kt贸rym nie potrafi臋 sobie poradzi膰. Dla dowolnych zbior贸w X i Y oraz funkcji $f:X \to Y$ rozwa偶amy funkcj臋 $g:P(Y) \to P(X)$ tak膮, 偶臋 $g(A)=f^{-1}[A]$, dla $A \subseteq Y$.Udowodni膰, 偶e \'g\' jest injekcj膮 wtedy i tylko wtedy, gdy \'f\' surjekcj膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-16 16:54:50 Za艂贸偶my, 偶e g nie jest iniekcj膮, czyli istniej膮 r贸偶ne zbiory $B_1, B_2$, takie, 偶e $g(B_1)=g(B_2)$. Zbiory s膮 r贸偶ne, to znaczy zachodzi co najmniej jeden z warunk贸w: a) $B_1 \backslash B_2 \neq \emptyset$ b) $B_2 \backslash B_1 \neq \emptyset$ Dla ustalenia uwagi uznamy, 偶e zachodzi a). Skoro $g(B_1)=g(B_2)$ to $f^{-1}[B_1]=f^{-1}[B_2]$ Niech $y\in B_1 \backslash B_2$, wtedy $f^{-1}[\{y\}]=\emptyset$, skoro dla ka偶dego $x$ mamy $f(x)\in B_1 \Rightarrow f(x) \in B_2$. Zatem $f$ nie jest suriekcj膮. Niech $f$ nie b臋dzie suriekcj膮. To znaczy niech istnieje $y\in Y$ taki, 偶e $f^{-1}[\{y\}]=\emptyset$. We藕my teraz $A\neq \emptyset$ taki, 偶e $y\notin A$. Oczywi艣cie $f^{-1}[A]=f^{-1}[\{y\}\cup A]$, czyli czyli $g(A)=g(\{y\}\cup A)$, zatem $g$ nie jest iniekcj膮. ----------- Dow贸d si臋 da艂o przeprowadzi膰 wprost, ale jako艣 mi przez zaprzeczenie odruchowo wysz艂o. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj