Analiza matematyczna, zadanie nr 885
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
dzasta93 post贸w: 9 |  2013-01-17 17:02:55Prosi艂abym Was o rozwi膮zanie dw贸ch zada艅 i wyt艂umaczenie mniej wi臋cej o co chodzi. Bardzo prosz臋 Was, poniewa偶 jutro te zad mog膮 si臋 pojawi膰 na kolosie. Z g贸ry wielkie dzi臋ki! Zad.1 Wyznaczy膰 r贸wnanie stycznej do krzywej y=f(x) w punkcie o odci臋tej $x_{0}$, je艣li: a) f(x)=$x^{2}$, $x_{0}$=2 b) f(x)=3$x^{2}$-1, $x_{0}$=1 c) f(x)=$e^{1-x}$, $x_{0}$=1 d) f(x)=ln(1+$x^{2}$), $x_{0}$=0 Zad.2 Znale藕膰 rozwini臋cie w szereg Maclaurina dla funkcji: a) f(x)=sin(x) b) f(x)=cos(x) c) f(x)=$\frac{1}{1-x}$ d) f(x)=$\frac{1}{1+x}$ e) f(x)=ln(1+x) f) f(x)=sinh(x) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-01-17 17:03:43 przez dzasta93 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-17 17:15:21 1) a) Kierunek stycznej dostajemy licz膮c pochodn膮 w punkcie (wszak granica ilorazu r贸偶nicowego ma w艂a艣nie tak膮 interpretacj臋 geometryczn膮). $y=ax+b$ to wz贸r stycznej i $a=f`(x_0)$ Prosta $y=ax$ przechodzi艂aby przez 艣rodek uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych bez pewno艣ci, 偶e styka si臋 z wykresem $f$ w wyznaczonym punkcie. Zatem przesuwamy wykres o wektor $[x_0,f(x_0)]$ Czyli ostateczny wz贸r funkcji to $y=f`(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ co po podstawieniu daje $y=4(x-2)+4$ I dasz rad臋 sobie przekszta艂ci膰. :) b) $y=f`(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ $y=6(x-1)+2$ c) $y=-1(x-1)+1$ d) $y=0(x-0)+0$ |
dzasta93 post贸w: 9 | 2013-01-17 17:59:34 Dzi臋ki wielkie, ju偶 rozumiem na czym te zadanie polega. Tylko mam pytanie a propo f(x)=$e^{1-x}$, jak b臋dzie wygl膮da艂a pochodna tej funkcji? |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-17 18:13:15 $ -e^{1-x}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-17 19:00:24 2) $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ a) $f(x)=sinx$ $f(x)=sin(0)+cos(0)x-\frac{1}{2}sin(0)x^2-\frac{1}{6}cos(0)x^3+...$ Zauwa偶my, 偶e wyrazy z sin (czyli dla $n$ parzystego) s膮 r贸wne $0$ dostaniemy $f(x)=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-...$ $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ b) $f(x)=cosx$ Stosuj膮c analogiczne rozumowanie $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}$ |
dzasta93 post贸w: 9 | 2013-01-17 19:05:21 Mam pytanie co do ca艂ek wymiernych, czy jest jaki艣 prosty, a wr臋cz najprostszy spos贸b na rozwi膮zanie takiej ca艂ki np.: a) $\int$$\frac{2x^{2}+8x+5}{x^{2}+x-2}$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-01-17 19:14:35 przez dzasta93 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-17 19:25:04 c) $f(x)=\frac{1}{1-x}$ Policzmy pochodn膮 $(\frac{c}{(1-x)^k})`=\frac{ck(1-x)^{k-1}}{(1-x)^{2k}}=\frac{ck}{(1-x)^{k+1}}$ zatem $f^{(n)}(0)=n!$ zatem $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ d) licz膮c bardzo podobnie jak wy偶ej $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-17 19:37:46 Ca艂ka. Je艣li licznik ma stopie艅 wi臋kszy lub r贸wny stopniowi mianownika, to robimy tak: $\frac{2x^2+8x+5}{x^2+x-2}= \frac{2(x^2+x-2)+6x+9}{x^2+x-2}=2+\frac{6x+9}{x^2+x-2}$ Je艣li stopie艅 licznika jest mniejszy ni偶 stopie艅 mianownika, to czasem si臋 da rozwi膮za膰 szybko, je艣li licznik jest pochodn膮 mianownika (by膰 mo偶e pomno偶on膮 przez sta艂膮). Tu tak nie jest. W takim przypadku metod膮 uniwersaln膮 jest rozk艂ad na u艂amki proste. Ca艂ego rozk艂adania nie om贸wi臋, od tego s膮 podr臋czniki. Je艣li mianownik to $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, to rozk艂ad na u艂amki proste wygl膮da tak: $\frac{6x+9}{x^2+x-2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$ gdzie A i B wyliczamy $A(x-1)+B(x+2)=6x+9$ $A+B=6$ $2B-A=9$ $B=5, A=1$ Ostatecznie $\int \frac{2x^2+8x+5}{x^2+x-2} dx = \int 2+\frac{6x+9}{x^2+x-2} dx= \int 2 dx + \int \frac{1}{x+2}dx+ \int \frac{5}{x-1}dx$ co ju偶 chyba 艂atwo doko艅czy膰 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-17 19:49:45 2) e) $ln(1+x)$ Je艣li zaczniemy liczy膰 pochodne, to si臋 przekonamy, 偶e s膮 podobne do tych z przyk艂adu d), z jedn膮 drobn膮 zmian膮 na pocz膮tku i z przesuni臋ciem indeksu. Polecam to jako 膰wiczenie zrobi膰 samemu. Wyjdzie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}}{n}x^n$ f) $sinh(x)$ $f(x)=sinh(0)+cosh(0)x+\frac{1}{2}sinh(0)x^2+\frac{1}{6}cosh(0)x^3+...$ wiemy, 偶e $sinh(0)=0$ a $cosh(0)=1$ $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj