logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 89

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

marlenka12119
postów: 1
2011-01-08 16:41:05

Mam do wykonania badanie przebiegu zmienności funkcji (wyznaczyć dziedzinę parzystość/ nieparzystość, punkty przecięcia, granice, asymptoty, monotoniczność, ekstrema, wypukłości i tabelkę, wykres)do funkcji f(x)= x-2lnx, jeżeli ktośc potrafi cokolwiek z tego błagam o pomoc.


tumor
postów: 8070
2012-10-03 10:18:44

Dziedzina $R_+$
W związku z tym ani parzysta, ani nieparzysta, punktów przecięcia z $OY$ oczywiście też nie ma.
Pomyślmy o równaniu
$x=2lnx$
Jeśli ogarniamy te funkcje doświadczeniem, to wiemy, że nawet nie leżą blisko. ;) Jeśli nie ogarniamy, to można łopatologicznie walczyć z tym szacowaniem, nierównościami i z użyciem pochodnych, żeby pokazać, że zupełnie zawsze $x>2lnx$.
(dość łatwo pokazać tę nierówność oddzielnie w przedziałach $(0,1), (1,2), (2,\infty)$)

$\lim_{(x \to 0^+)}f(x)=0-(-\infty)=\infty$
$\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$
$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=1$
$\lim_{x \to \infty}(f(x)-x)=\lim_{x \to \infty}(-2lnx)=-\infty$
Asymptota pionowa $x=0$, brak asymptot ukośnych.

$f`(x)=1-\frac{2}{x}$
$f`(x)=0$ dla $x=2$
w $(0,2)$ pochodna ujemna, $f$ malejąca
w $(2,\infty)$ pochodna dodatnia, $f$ rosnąca
w $x=2$ ekstremum równe $2-ln4$
$f``(x)=\frac{2}{x^2}$
$f``(x)$ w $(0,\infty)>0$, czyli $f$ wypukła, brak punktów przegięcia.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 44 drukuj