logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 897

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2013-01-19 19:45:07

Stwierdzić czy to prawda czy fałsz:
a) Każdy ideał I w pierścieniu (P,$+,\cdot$) jest jego podgrupą (P,$\cdot$)
b) Zbiór elementów odwracalnych w pierścieniu P tworzy ideał w P
c) Każdy wielomian z pierścienia $\mathbb{C}[X]$ ma pierwiastek w $\mathbb{C}$
d) Jedynymi ciałami skończonymi są ciała $\mathbb{Z_{p}}$, gdzie p-liczba pierwsza.
e) Żaden dzielnik zera nie jest elementem odwracalnym
f) Każdy wielomian nierozkładalny nad P jest nierozkładalny nad K(P)
g) Liczba $\sqrt[n]{2}$ jest algebraiczną stopnia n
h) Iloczyn kartezjański pierścienia P$\times$P z działaniami 'po współrzędnych' nigdy nie jest ciałem.

moje odpowiedzi to:
a)fałsz
b)fałsz
c)prawda
d)prawda
e)prawda
f)fałsz
g)prawda
h)fałsz

proszę o odpowiedz czy te odp są poprawne czy nie(z wyjaśnieniem jeśli coś jest źle)


tumor
postów: 8070
2013-01-19 20:11:36


c - wielomian n-tego stopnia ma n (być może powtarzających się) pierwiastków. Co powiesz o wielomianach stopnia zerowego, równych niezerowej stałej?

d - ciała skończone mogą mieć nie tylko p-elementów, dla liczby pierwszej p, ale też $p^n$, dla dowolnego $n\in N_+$ i liczby pierwszej p. Zerknij do jakiegoś podręcznika algebry, w którym jest rozdział o ciałach skończonych
"Przegląd algebry współczesnej" Birkhoff, Mac Lane
"Zarys algebry" Białynicki-Birula
Te dwa znalazłem pierwsze na półce, oba mówią to, co ja. :) Dodam, że wiki też to mówi :P

h) załóżmy, że jest ciałem. Wtedy ma co najmniej dwa elementy. To znaczy, że także P ma co najmniej dwa elementy, niech to będą 0,a.
Wtedy (0,a) i (a,0) są właściwymi dzielnikami zera pierścienia $P\times P$, czyli pierścień ten nie może być ciałem. :)
Gdybyśmy mieli $K\times P$, gdzie K jest ciałem, a $P=\{0\}^n$, to wtedy
$K\times P \cong K$
jest ciałem. Jeśli natomiast mnożymy kartezjańsko pierścienie, które mają po dwa lub więcej elementów, to argument wyżej sprawia, że iloczyn nie może być ciałem. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj