Analiza matematyczna, zadanie nr 9
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| metallukas postów: 1 |  2010-05-24 19:31:03Zbadać zbieżność szeregów: 1) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4x+1)^{n}}{\sqrt{n}}$ 2) $\sum_{n=1}^{\infty}(4n-1)^{n}\cdot1^{n}$ |
| zorro postów: 106 | 2010-05-26 00:29:51 1) Jest to szereg funkcyjny potęgowy. Szukamy promienia zbieżności na podstawie twierdzenia D'Alamberta. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4x+1)^{n}}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n}(x+\frac{1}{4})^{n}}{\sqrt{n}}$ wyraz ogólny $a_{n}=\frac{4^{n}}{\sqrt{n}}$ $\lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\lim_{n \to \infty}\frac{4^{n+1}\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}\cdot4^{n}}}=$ $=\lim_{n \to \infty}4\sqrt{\frac{n}{n+1}}=4\cdot\lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{n}}}=4$ promień zbieżności: $R=\frac{1}{4}$ Szereg będzie zbieżny dla wyrazu potęgowego mniejszego na wart. bezwzględną od R: $|x+\frac{1}{4}|<\frac{1}{4}$ $-\frac{1}{4}<x+\frac{1}{4}<\frac{1}{4}$ $-\frac{1}{2}<x<0$ Dla $x=-\frac{1}{2}$ szereg przyjmuje postać $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ jest więc zbieżny na mocy kryterium Leibniza. Dla $x=0$ szereg przyjmuje postać $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ - szereg harmoniczny o $\alpha=\frac{1}{2}$ więc rozbieżny. Odp: Szereg jest zbieżny dla $x\in<-\frac{1}{2},0)$. Dla pozostałych wartości x szereg jest rozbieżny. Wiadomość była modyfikowana 2010-07-04 07:50:46 przez zorro |
| zorro postów: 106 | 2010-05-26 00:36:08 2) Szereg tu podany to szereg liczbowy o wyrazie ogólnym nie spełniającym warunku koniecznego zbieżności. $\lim_{n \to \infty}(4n-1)^{n}=\infty$ Szereg jest więc rozbieżny. Wydaje mi się jednak, że niewłaściwie przepisałeś treść zadania. Sprawdź czy nie chodzi o szereg $\sum_{n=1}^{\infty}(4x-1)^{n}\cdot(-1)^{n}$? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj