Teoria mnogości, zadanie nr 901

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
res postów: 6	2013-01-20 14:33:20 Zad. Wybrać jedną własność, a następnie wskazać funkcję f :R->R ,spełniającą: - f (Q) = Q, ale f nie jest bijekcją. - f ^{-1} ({ 1 }) = N_{0} i jest to jedyny element przeciwdziedziny o tej własności. Zad. 2. a) Zbadać własności relacji pustej na zbiorze niepustym. b) Niech X oznacza zbiór funkcji ograniczonych określonych na odcinku <0, 1>. Wprowadźmy na X relację f~g wtedy i tylko wtedy,gdy {x : f (x) różne od g(x)} jest przeliczalny. Czy ~ jest relacją równoważności? Zad. 3. a) Jaki porządek na zbiorze N^{2} wprowadza relacja określona wzorem (x, y) (jakiś trójkącik zwrócony ostrym w lewo) (w, z) wtedy i tylko wtedy, gdy (x = w i y mniejszy równy z) lub (x mniejszy równy w i y = z). Wskazać (narysować, bądź wypisać) wszystkie elementy mniejsze od (4, 5).

tumor postów: 8070	2013-01-20 14:42:51 Zad.1. $f(x)=\left\{\begin{matrix} x &\mbox{ dla }x\in Q \\ 0 &\mbox{ dla }x\notin Q\end{matrix}\right.$ $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{ dla }x\in N_0 \\ x &\mbox{ dla }x\notin N_0\end{matrix}\right.$

tumor postów: 8070	2013-01-20 14:49:29 Zad.2. a) $X\neq \emptyset$ $R=\emptyset$ Przeciwzwrotna, bo dla każdego $x\in X$ mamy $(x,x)\notin R$ Nie jest zwrotna. Jest przechodnia, bo jeśli xRy i yRz to xRz (warunek jest spełniony, bo niespełniony jest poprzednik implikacji) Jest symetryczna, bo jeśli xRy to yRx (uzasadnienie jak wyżej) Jest asymetryczna, bo nie istnieją w X elementy x i y takie, że xRy i jednocześnie yRx. Skoro jest asymetryczna, to jest antysymetryczna (uzasadnienie jak wyżej). Nie jest spójna. Żadne dwa elementy nie są porównywalne, więc w szczególności nieprawda, że każde dwa są porównywalne.

tumor postów: 8070	2013-01-20 14:54:10 Zad.2. b) Ja zamiast $\sim$ będę pisał na relację R, bo mi wygodniej. :) 1) zwrotna, dla każdego $g\in X$ mamy gRg (bo funkcja g sama od siebie nie różni się nigdzie) 2) symetryczna, bowiem jeśli fRg, to funkcje f i g różnią się dla przeliczalnej ilości argumentów, ten warunek jest symetryczny, czyli także gRf 3) przechodnia, bowiem jeśli fRg i gRh to f i g różnią się wartościami dla przeliczalnej ilości argumentów, g i h podobnie, stąd wynika że f i h różnią się wartościami dla przeliczalnej ilości punktów, zatem fRh Jest relacją równoważności.

tumor postów: 8070	2013-01-20 15:06:12 Zad.3. To, jakim symbolem się oznaczy porządek, jest tylko kwestią umowy. Zazwyczaj bierzemy symbole nawiązujące do $<$ i $\le$, czyli dla przykładu: $\lhd, \unlhd, \prec, \preceq$ Umówmy się, że było $\lhd$ $(x,y)\lhd (w,z) \iff (x=w \wedge y \le z) \vee (y=z \wedge x \le w)$ Sprawdzamy warunki: 1) zwrotna $(x,y) \lhd (x,y)$ 2) przechodnia Popatrzmy na elementy $(5,5)$, $(5,4)$ i $(4,4)$ mamy $(4,4)\lhd (4,5)$ i $(4,5) \lhd (5,5)$ Wcale jednak nie jest prawdą, że $(4,4)\lhd (5,5)$ Relacja nie jest przechodnia, więc nie jest żadnym porządkiem, u licha. :) Elementami mniejszymi od (4,5) są $(4,5), (4,4), (4,3), (4,2), (4,1), (4,0), (3,5), (2,5),(1,5),(0,5)$ (ja liczby naturalne domyślnie biorę z 0, natomiast jeśli ktoś 0 wyklucza, to wypadną dwa z powyższych elementów, raczej wiadomo które)

res postów: 6	2013-01-20 15:34:33 Dzięki, dzięki, dzięki :))

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj