logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 902

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

res
postów: 6
2013-01-20 14:36:09

Zad. Wskazać bijekcję z N^{2} do N. Następnie
a) wprowadzić liniowy porządek na N^{2}. Następnie zmodyfikować go
tak, aby (7, 7) (jakiś trójkącik zwrócony ostrym w lewo) (5, 5),


b)wprowadzić dobry porządek na zbiorze {( \frac{-1}{n},\frac{1}{n}), n ∈ N }.

Zad.4. Jaka jest moc zbioru punktów w R^{2} leżących na okręgach o środku w (0, 0) i promieniach wymiernych?


tumor
postów: 8070
2013-01-20 15:34:01

Zad.1.

Polecam zapamiętać funkcję

$f:N^2\to N$
daną wzorem $f(m,n)=2^m(2n+1)-1$

(jeżeli nie zaliczasz 0 do liczb naturalnych, to $f(x)=2^{m-1}(2n-1)$)

Funkcja f jest bijekcją (co wypada sprawdzić, ale to nie ja muszę :P)

a) skoro mamy bijekcję, to najoczywistszym porządkiem, jaki tu należy wskazać, jest

$(x,y)\lhd (m,n)\iff f(x,y)\le f(m,n)$

Nieszczęśliwie mamy $f(5,5)<f(7,7)$

Możemy jednak przerobić funkcję f na inną

$g(x,y)=\left\{\begin{matrix} f(5,5) &\mbox{ dla }x=y=7 \\
f(7,7) &\mbox{ dla }x=y=5\\
f(x,y) &\mbox{ w pozostałych przypadkach } \end{matrix}\right.$

Teraz porządek dany wzorem
$(x,y)\lhd (m,n)\iff g(x,y)\le g(m,n)$
spełnia warunek z zadania. :)


Uwaga.
W zadaniu chcieli porządku liniowego. W takim wypadku wystarczyło odwrócić kierunek nierówności. Moje bardziej skomplikowane rozwiązanie zachowuje DOBRE uporządkowanie dane bijekcją. :)


tumor
postów: 8070
2013-01-20 15:36:53

Zad.4

Wszystkich punktów w $R^2$ jest $\mathbb{c}$

Weźmy okrąg o promieniu 1 i środku (0,0). Punktów na tym okręgu też jest $\mathbb{c}$. Więcej nie będzie.
Bardzo dziwne zadanie. ;)


res
postów: 6
2013-01-20 15:55:11

I raz jeszcze podziękuję serdecznie

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj