Analiza matematyczna, zadanie nr 91
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
em5 post贸w: 1 |  2011-01-09 14:08:37Jak wykaza膰, 偶e je艣li szereg $\sum_{n=1}^{\infty}$an o wyrazach dodatnich jest zbie偶ny, to szereg $\sum_{n=1}^{\infty}$tg$\cdot$an jest zbie偶ny? Ka偶de takie wykazywanie robi si臋 zawsze tak samo? Je艣li kto艣 to umie i rozumie, to prosz臋 o pomoc :) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-23 21:44:55 Nie, r贸偶ne wykazywania robi si臋 r贸偶nie. Zawsze si臋 powtarza to tylko, 偶e korzystamy z tego, czego ju偶 dowodzili艣my lub co jest aksjomatem. Przy zbie偶no艣ci szeregu nie ma znaczenia dowolna sko艅czona ilo艣膰 pocz膮tkowych wyraz贸w ci膮gu $a_n$. Skoro szereg $\sum a_n$ jest zbie偶ny, to od pewnego miejsca jego wyrazy s膮 dowolnie bliskie $0$ (czyli pewien wyraz i wszystkie dalsze spe艂niaj膮 warunek $|a_n|<\epsilon$ dla dowolnie ma艂ego dodatniego, wybranego wcze艣niej $\epsilon$). Ustalmy dowolne $0<\epsilon<1$ Dla $|x|<\epsilon$ prawdziwa jest nier贸wno艣膰 $|x|\le\frac{12!*e^{12!}}{3-\sqrt{7}}|\tan x|$. Sta艂膮 t臋 mo偶na dobra膰 ciut mniejsz膮, ale taka nam dla dowodu zupe艂nie wystarczy. Dla zbie偶no艣ci szeregu $\sum \tan a_n$ wystarczy, 偶e dla pewnego $n_0$ naturalnego prawdziwa jest nier贸wno艣膰: $\sum_{n=n_0}^\infty \tan |a_n| \le \sum_{n=n_0}^\infty \frac{12!*e^{12!}}{3-\sqrt{7}}a_n= \frac{12!*e^{12!}}{3-\sqrt{7}}\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ Zbie偶no艣膰 szeregu po prawej stronie przy jednoczesnym zbieganiu wyraz贸w $\tan a_n$ do $0$ gwarantuje zbie偶no艣膰 szeregu po stronie lewej. Po dodaniu DOWOLNEJ sko艅czonej liczby DOWOLNYCH rzeczywistych wyraz贸w ci膮gu zbie偶no艣膰 szeregu b臋dzie zachowana, dlatego pierwszymi wyrazami (przed $n_0$) si臋 nie zajmujemy. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj