logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 91

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

em5
postów: 1
2011-01-09 14:08:37

Jak wykazać, że jeśli szereg $\sum_{n=1}^{\infty}$an o wyrazach dodatnich jest zbieżny, to szereg $\sum_{n=1}^{\infty}$tg$\cdot$an jest zbieżny?

Każde takie wykazywanie robi się zawsze tak samo?
Jeśli ktoś to umie i rozumie, to proszę o pomoc :)


tumor
postów: 8070
2012-09-23 21:44:55

Nie, różne wykazywania robi się różnie. Zawsze się powtarza to tylko, że korzystamy z tego, czego już dowodziliśmy lub co jest aksjomatem.

Przy zbieżności szeregu nie ma znaczenia dowolna skończona ilość początkowych wyrazów ciągu $a_n$. Skoro szereg $\sum a_n$ jest zbieżny, to od pewnego miejsca jego wyrazy są dowolnie bliskie $0$ (czyli pewien wyraz i wszystkie dalsze spełniają warunek $|a_n|<\epsilon$ dla dowolnie małego dodatniego, wybranego wcześniej $\epsilon$).

Ustalmy dowolne $0<\epsilon<1$
Dla $|x|<\epsilon$ prawdziwa jest nierówność $|x|\le\frac{12!*e^{12!}}{3-\sqrt{7}}|\tan x|$.
Stałą tę można dobrać ciut mniejszą, ale taka nam dla dowodu zupełnie wystarczy.

Dla zbieżności szeregu $\sum \tan a_n$ wystarczy, że dla pewnego $n_0$ naturalnego prawdziwa jest nierówność:

$\sum_{n=n_0}^\infty \tan |a_n| \le \sum_{n=n_0}^\infty \frac{12!*e^{12!}}{3-\sqrt{7}}a_n= \frac{12!*e^{12!}}{3-\sqrt{7}}\sum_{n=n_0}^\infty a_n$
Zbieżność szeregu po prawej stronie przy jednoczesnym zbieganiu wyrazów $\tan a_n$ do $0$ gwarantuje zbieżność szeregu po stronie lewej. Po dodaniu DOWOLNEJ skończonej liczby DOWOLNYCH rzeczywistych wyrazów ciągu zbieżność szeregu będzie zachowana, dlatego pierwszymi wyrazami (przed $n_0$) się nie zajmujemy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 57 drukuj