logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 913

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

bububu
postów: 3
2013-01-20 18:36:49

Obliczyć pierwiastki z liczb zespolonych
a)$\sqrt{-i}$
b) $\sqrt[6]{-27}$
c) $\sqrt[3]{8i}$
d) $\sqrt[8]{1}$
e) $\sqrt[5]{3+7i}$
f)$\sqrt[4]{\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{i}{2}}$
proszę o wyjaśnienie tego

Wiadomość była modyfikowana 2013-01-20 18:43:30 przez bububu

johny94
postów: 84
2013-01-20 18:42:08

c) $ \sqrt[8]{1}=1 lub -1$

Wiadomość była modyfikowana 2013-01-20 18:43:32 przez johny94

tumor
postów: 8070
2013-01-20 19:54:53

Gdzie się da możemy zastosować taki wybieg, że jeden z pierwiastków wyliczymy, a resztę uzyskamy przez obroty.

a)
$z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$
drugi się różni o $180^\circ$
$z_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$

b)

$z_1=\sqrt[6]{27}(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
Pozostałe są co $60^\circ$
Możemy je wyliczać znów z postaci trygonometrycznej albo mnożyć ciągle przez $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$

$z_2=\sqrt{3}i$
$z_3=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$
$z_4=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$
$z_5=\sqrt{3}(-i)$
$z_6=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$

Wiadomość była modyfikowana 2013-01-20 19:57:13 przez tumor

tumor
postów: 8070
2013-01-20 20:07:17

c)

Jak to się wylicza? Patrzymy, gdzie na płaszczyźnie zespolonej jest $8i$. Liczba ta wyznacza kąt skierowany $90^\circ$ i ma długość $8$.
Liczymy pierwiastek trzeciego stopnia, zatem długość będzie $2$, a kąt $30^\circ$. Liczba wygląda tak:

$z_1=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$

Pierwiastki n-tego stopnia z danej liczby zespolonej mają tę samą długość i są rozmieszczone co kąt $\frac{360^\circ}{n}$
Skoro liczymy pierwiastki trzeciego stopnia, to liczby będą co $120^\circ$.
Jeśli liczbę $z_1$ wyliczoną jak wyżej obrócimy wokół środka układu o kąt $120^\circ$ to dostaniemy

$z_2=2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$

Jeśli to jeszcze raz obrócimy o $120^\circ$ to dostaniemy

$z_3=-2i$

d) Nieśmiałej próby, o którą się pokusił johny94, nie można traktować poważnie.
Ale oczywiście prawdą jest, że jednym z pierwiastków jest

$z_1=1$

Kolejne występują co $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$ i mają tę samą długość równą $1$.

Czyli
$z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
$z_3=i$
$z_4=\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
$z_5=-1$
$z_6=\frac{-\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$
$z_7=-i$
$z_8=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj