Algebra, zadanie nr 913
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
bububu post贸w: 3 |  2013-01-20 18:36:49Obliczy膰 pierwiastki z liczb zespolonych a)$\sqrt{-i}$ b) $\sqrt[6]{-27}$ c) $\sqrt[3]{8i}$ d) $\sqrt[8]{1}$ e) $\sqrt[5]{3+7i}$ f)$\sqrt[4]{\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{i}{2}}$ prosz臋 o wyja艣nienie tego Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-01-20 18:43:30 przez bububu |
johny94 post贸w: 84 | 2013-01-20 18:42:08 c) $ \sqrt[8]{1}=1 lub -1$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-01-20 18:43:32 przez johny94 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-20 19:54:53 Gdzie si臋 da mo偶emy zastosowa膰 taki wybieg, 偶e jeden z pierwiastk贸w wyliczymy, a reszt臋 uzyskamy przez obroty. a) $z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$ drugi si臋 r贸偶ni o $180^\circ$ $z_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ b) $z_1=\sqrt[6]{27}(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ Pozosta艂e s膮 co $60^\circ$ Mo偶emy je wylicza膰 zn贸w z postaci trygonometrycznej albo mno偶y膰 ci膮gle przez $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$ $z_2=\sqrt{3}i$ $z_3=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$ $z_4=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$ $z_5=\sqrt{3}(-i)$ $z_6=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-01-20 19:57:13 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2013-01-20 20:07:17 c) Jak to si臋 wylicza? Patrzymy, gdzie na p艂aszczy藕nie zespolonej jest $8i$. Liczba ta wyznacza k膮t skierowany $90^\circ$ i ma d艂ugo艣膰 $8$. Liczymy pierwiastek trzeciego stopnia, zatem d艂ugo艣膰 b臋dzie $2$, a k膮t $30^\circ$. Liczba wygl膮da tak: $z_1=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$ Pierwiastki n-tego stopnia z danej liczby zespolonej maj膮 t臋 sam膮 d艂ugo艣膰 i s膮 rozmieszczone co k膮t $\frac{360^\circ}{n}$ Skoro liczymy pierwiastki trzeciego stopnia, to liczby b臋d膮 co $120^\circ$. Je艣li liczb臋 $z_1$ wyliczon膮 jak wy偶ej obr贸cimy wok贸艂 艣rodka uk艂adu o k膮t $120^\circ$ to dostaniemy $z_2=2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$ Je艣li to jeszcze raz obr贸cimy o $120^\circ$ to dostaniemy $z_3=-2i$ d) Nie艣mia艂ej pr贸by, o kt贸r膮 si臋 pokusi艂 johny94, nie mo偶na traktowa膰 powa偶nie. Ale oczywi艣cie prawd膮 jest, 偶e jednym z pierwiastk贸w jest $z_1=1$ Kolejne wyst臋puj膮 co $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$ i maj膮 t臋 sam膮 d艂ugo艣膰 r贸wn膮 $1$. Czyli $z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ $z_3=i$ $z_4=\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ $z_5=-1$ $z_6=\frac{-\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$ $z_7=-i$ $z_8=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj