logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 930

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kamilka12345
postów: 28
2013-01-23 15:07:07

Udowodnić, że zbiór funkcji fa,b:R$\rightarrow$R,gdzie a,b $\in$R i a $\neq$0, postaci fa,b=ax+b jest grupą względem składania przekształceń

Wiadomość była modyfikowana 2013-01-23 15:10:20 przez kamilka12345

tumor
postów: 8070
2013-01-23 21:48:53

a) Sprawdzamy, czy działanie jest wewnętrzne.

Weźmy dwie funkcje
$f=ax+b$
$g=cx+d$
$f\circ g = a(cx+d)+b=(ac)x+(ad+b)$

b) sprawdzimy, czy jest łączne

$f=a_1x+b_1$
$g=a_2x+b_2$
$h=a_3x+b_3$
$f\circ (g\circ h) = f (g(h) )=a_1(a_2(a_3x+b_3)+b_2)+b_1=
a_1a_2a_3x+a_1a_2b_3+a_1b_2+b_1$

Tak samo należy rozpisać
$(f\circ g)\circ h$
i sprawdzić, czy wyjdzie to samo :)

c) element neutralny f(x)=x

Dla uczciwości powinno się pokazać, że złożenie tego f z każdą funkcją g(x)=cx+d daje g(x) (niezależnie od kolejności składania)

d) element przeciwny - funkcja odwrotna w sensie składania

$f(x)=ax+b$
$f(x)-b=ax$
$x=\frac{1}{a}f(x)-\frac{b}{a}$

$f^{-1}(x)=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}$

Niby wiadomo, ale można sobie też sprawdzić, że złożenie da identyczność.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj